Equivalencia de dos definiciones de preferencia monotona

Question

En MWG, la definición de preferencia débil es para todos $x,y \in X$, $y>>x$ implica $y\succ x$. Pero he leído algunos otros artículos que definen la preferencia débil como $y\geq x\implies y\succeq x$. Aquí, $y\geq x$ significa $y_i\geq x_i$ para todo $i$, y $y>>x$ significa $y_i>x_i$ para todo $i$.

Estas dos definiciones no son directamente equivalentes. Creo que la segunda debería implicar la primera de MWG, pero no sé cómo probarlo. Está claro que si $y>>x$ entonces $y\geq x$ por lo que $y\succeq x$. Pero luego necesito probar $\lnot(x\succeq y)$, no sé cómo abordarlo. Además, desde Understanding the definition of monotone, una de las respuestas da una prueba de que si la preferencia es continua y racional, entonces $y>>x\implies y\succ x$ implica $y\geq x\implies y\succeq x$. Pero no entiendo completamente la prueba. ¿Cómo debo abordar esta pregunta si quiero usar la definición continua de conjuntos de contorno inferior y superior cerrados?

Answer 1

Sea $\succeq$ una relación en $\mathbb{R}^l_+$ tal que $x\gg y$ implica $x\succeq y$ para todo $x,y\in\mathbb{R}^l_+$, y que todos los conjuntos de contorno superior están cerrados. Entonces $x\geq y$ implica $x\succeq y$.

Prueba: Supongamos que $x\geq y$. Sea $\mathbf{1}=(1,1,\ldots,1)\in\mathbb{R}^l_+$. Entonces para todo $n\geq 1$, tenemos $n^{-1}\mathbf{1}+x\gg y$. Por la suposición, esto implica $n^{-1}\mathbf{1}+x\succ y$ y, por lo tanto, también $n^{-1}\mathbf{1}+x\succeq y$. Por lo tanto, $n^{-1}\mathbf{1}+x$ pertenece al conjunto de contorno superior $\{z\in \mathbb{R}^l_+\mid z\succeq y\}$ para todo $n$. Pero $\lim_{n\to\infty}n^{-1}\mathbf{1}+x=x$. Dado que los conjuntos de contorno superior están cerrados, el límite $x$ también debe pertenecer a $\{z\in \mathbb{R}^l_+\mid z\succeq y\}$. En consecuencia, $x\succeq y$.