Comprendiendo la definición de monótono

Question

En Teoría Microeconómica de Mas-Colell, Whinston, y Green, la definición de relaciones de preferencia monótonas se da de la siguiente manera:

Definición 3.B.2$\quad$ La relación de preferencia $\succsim$ en $X$ es monótona si $x \in X$ y $y \gg x$ implica $y \succ x$.

Entonces, supongamos que $\succsim$ es monótona. Me preguntaba si es posible que dos conjuntos $x$ y $y$ sean tales que $y \geq x$ pero $x \succ y$?

No estoy seguro sobre esto, pero creo que la afirmación anterior no es posible; es decir, creo:

Si $\succsim$ es monótona, entonces $y \succsim x$ siempre que $y \geq x$.

Sin embargo, no pude demostrarlo. ¿Podría alguien ayudarme? ¡Muchas gracias de antemano!

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Nota que $x \geq y$ significa que $x_n \geq y_n$ para todos los $n=1,\dots,N$ y que $x \gg y$ significa que $x_n > y_n$ para todos los $n=1,\dots,N$.

Answer 1

En toda mi respuesta, asumo que $x \succ y$ se lee como "$x$ es estrictamente preferido a $y$". Consulte la nota al pie (a) si ese no es el caso.

Me preguntaba si es posible que dos conjuntos $x$ y $y$ sean tales que $y \geq x$ pero $x \succ y$?

1. Contraejemplo: $X = \{(1,1), (2,2), (3,1)\}$ tal que $(2,2) \succ (1,1) \succ (3,1)$. Se cumplen la completitud, transitividad y monotonicidad. Ahora elige $x = (3,1)$ y $y = (1,1)$.

2. Con la suposición de que $X \cong \mathbb{R}^m \ (m \in \mathbb{N})$ y la continuidad de $\succeq_X$, tenemos que $y \geq x \implies y \succeq x$.

   Prueba. Supongamos que $y \geq x$ para algún $x,y \in X$ y asumamos para fines de contradicción que $x \succ y$. Define $Z := \{z \in X : z >> y\}$. Considera dos bolas abiertas $B_x$ y $B_y$ y observa que $z_y \in B_y \cap Z$ debe satisfacer $x \succ z_y$ (debido a la continuidad y nuestra suposición de que $x \succ y$) y $z_y \succ x$ (debido a la monotonicidad) simultáneamente. ¡Contradicción!

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_{(a) Si <span class="math-container">$x \succ y$</span> se interpreta como "<span class="math-container">$x$</span> es <strong>débilmente</strong> preferido a <span class="math-container">$y$</span>", considera <span class="math-container">$U(X) = 1$</span> y verás que se cumple <span class="math-container">$(y \geq x) \land (x \succ y)$</span> para todos los <span class="math-container">$x,y \in X$</span> que satisfacen <span class="math-container">$y \geq x$</span>.}

_{(b) <strong>Definición de continuidad de las preferencias:</strong> Una relación de preferencia <span class="math-container">$\succeq$</span> en <span class="math-container">$X$</span> es continua si cada vez que <span class="math-container">$a \succ b$</span>, <span class="math-container">$\exists$</span> bolas abiertas <span class="math-container">$B_a$</span> y <span class="math-container">$B_b$</span> tal que para todo <span class="math-container">$x \in B_a$</span> y <span class="math-container">$y \in B_b$</span>, <span class="math-container">$x \succ y$</span>.}

_{(c) <strong>Nota:</strong> Agradecería una respuesta que tenga una condición más débil sobre <span class="math-container">$X$</span> en comparación con <span class="math-container">$X$</span> siendo isomorfo a <span class="math-container">$\mathbb{R}^m$</span> <span class="math-container">$(m \in \mathbb{N})$</span>. Dicho esto, la prueba anterior funciona para <span class="math-container">$X = \mathbb{R}^m_{\geq 0}$</span> <span class="math-container">$(m \in \mathbb{N})$</span> lo cual tiene más sentido desde el punto de vista económico.}