Utilidad marginal negativa y producto marginal negativo

Question

En microeconomía, normalmente 'permitimos' funciones de utilidad con derivadas parciales negativas, indicando un bien 'malo', como $u(x,y)=x^2-y$. Naturalmente, un consumidor que maximiza la utilidad con una restricción presupuestaria usual $px+qy=m$ elegirá $y=0$ en el óptimo. Entiendo que estas preferencias no representan comportamientos correctos, pero aún así las permitimos en el análisis teórico.

Por otro lado, normalmente no vemos funciones de producción con productos marginales negativos, como $f(k,l)=k-l$. La mayoría de los libros de texto imponen la condición de producto marginal positivo en las funciones de producción.

¿Por qué esta diferencia?

Answer 1

De hecho, incluso si en la mayoría de los casos los libros de texto el producto marginal siempre es positivo, no es inusual tener una función de producción con producto marginal negativo, es decir, una función de producto total que, más allá de cierto nivel, disminuye con un aumento del input considerado, por ejemplo el trabajo.

Este tipo de función de producción es una función de producción a corto plazo, donde algún input está fijo.

Los gráficos de la función de producción y del producto marginal, en este caso, suelen lucir como en la siguiente imagen, donde se muestra la relación entre la Función de Producto Total, Marginal y Promedio:

Como se puede ver, más allá del nivel $L=24$, la producción total disminuye y el producto marginal se vuelve negativo.

Como ejemplo de un libro de texto de microeconomía donde se ilustra una función de producción similar, se puede ver por ejemplo Frank, Microeconomía y Comportamiento.$^1$ Pero si buscas en Google hay un montón de imágenes de función de producción con producto marginal negativo

Una razón por la cual esto puede suceder es el argumento común de la maceta de flores, que es un ejemplo de escasez de un input en el corto plazo, que ilustra la ley de los rendimientos decrecientes: no es posible cultivar el suministro mundial de alimentos en una maceta de flores.

Con un input, la tierra, fijo a un nivel bajo (la maceta de flores), el aumento de otros inputs, digamos el trabajo, rápidamente deja de tener un efecto positivo en la producción de trigo: la eficiencia de la producción disminuirá rápidamente (disminuyendo el producto marginal) y podemos imaginar una situación en la que la producción deja de crecer y un nivel en el que demasiados trabajadores en la tierra pueden dañar, en lugar de aumentar, la producción.

La razón por la cual la mayoría de los libros de texto presentan únicamente la parte positiva del producto marginal son razones formales, como se menciona en la respuesta de @1muflon1, y también razones económicas: un gerente racional, dado que el salario es positivo, nunca decidirá emplear el input, trabajo, más allá del nivel $L=24$ en la imagen.

Por lo tanto, es razonable considerar únicamente la parte de la función de producción con producto marginal positivo.$^2$

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$^1$ Desafortunadamente, solo tengo la edición italiana del libro de Frank, por lo que no puedo citar las páginas de la edición en inglés. Para la edición italiana, ver Frank, Microeconomía, Cuarta Edición, Mac Graw-Hill, 2006, pp. 265-266.

$^2$ Ver Ídem., pp. 262-263.

Answer 2

El producto marginal negativo está permitido teóricamente. De hecho, la ley de rendimientos marginales decrecientes requiere que el producto marginal sea negativo en algún punto.

La mayoría de los libros de texto trabajan con funciones de producción bien comportadas porque hacen que los problemas complejos sean más fáciles de resolver.

Por ejemplo, si se utiliza la función de Cobb-Douglas que no tiene rendimientos marginales negativos, prácticamente siempre se garantiza que su ecuación fundamental se reducirá a la llamada ecuación diferencial de Bernoulli, y esa es uno de los pocos tipos de ecuaciones diferenciales que sabemos cómo resolver explícitamente mediante métodos analíticos simples. La demostración de la unicidad y estabilidad del equilibrio también es extremadamente simple.

Por lo tanto, la razón por la cual no se ve producto marginal negativo en los libros de texto es que simplemente es demasiado difícil para el estudiante promedio de Economía (incluso a nivel de posgrado) resolver problemas económicos sin una función de producción bien comportada. Además, a menudo no se pueden resolver explícitamente tales problemas, y puede ser difícil demostrar que el equilibrio encontrado es único y estable.

Es por eso que la mayoría de la literatura orientada a estudiantes utilizará un conjunto muy limitado de funciones de producción. Mayormente verás solo Cobb-Douglas con pocas excepciones.