¿Cómo aseguran las suposiciones $p'+q_ip''<0$ y $p'-c''<0$ la estabilidad del equilibrio de Nash entre empresas privadas en el modelo básico de oligopolio mixto?

Question

Tengo dos preguntas rápidas sobre modelos básicos de oligopolio:

1. ¿Qué se entiende por imponer las suposiciones $p'+q_ip''<0$ y $p'-c''<0$ para garantizar la estabilidad del equilibrio de Nash entre empresas privadas?
2. ¿Cuál es la función $q$ que se diferencia parcialmente?

Answer 1

Las condiciones de estabilidad son de Hahn (1962). Aseguran que, bajo un proceso de ajuste específico, las producciones de las empresas convergerán al equilibrio de Cournot-Nash. El proceso de ajuste asumido (usando la notación del artículo en cuestión) es:

$$\frac{dq_i(t)}{dt}=k_i\big(q_i^*-q_i(t)\big)$$

donde $q_i^*$ denota la producción de equilibrio de la empresa $i$ y donde $k_i>0$ para todo $i=1,\ldots,n$. El proceso de ajuste asumido significa que si la producción actual de una empresa está por debajo (arriba) de su producción de equilibrio, entonces la producción está aumentando (disminuyendo).

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Aquí $q(q_0,n)$ es simplemente la producción de equilibrio de Cournot-Nash de cada una de las empresas privadas, dado la producción de la empresa pública $q_0$ y dado el número de empresas privadas $n$.

Cada empresa $i$ tiene una condición de primer orden

$$p(Q)+p'(Q)\cdot q_i-c'(q_i)=0$$

Sumando sobre $i=1,\ldots,n$ obtenemos

$$np(Q)+p'(Q)\cdot \sum_{i=1}^nq_i-\sum_{i=1}^nc'(q_i)=0$$

En un equilibrio simétrico ($q_i=q$ for all $i$), tenemos

$$np(q_0+nq)+p'(q_0+nq)\cdot (nq)-nc'(q)=0$$

La solución a esta ecuación es $q(n,q_0)$. Las derivadas parciales de $q$ con respecto a $n$ y $q_0$ se encuentran utilizando el teorema de la función implícita.