Comentario General: En la industria, eres efectivamente un ingeniero/mecánico. Eliges la mejor herramienta para el trabajo, y no hay una herramienta que funcione con todo porque todas tienen diferentes beneficios y desventajas. Las herramientas que tienen alta precisión tendrán un alto costo computacional (Monte-Carlo), mientras que las herramientas que son más rápidas pueden ser menos precisas o tener problemas de estabilidad (PDEs y su Transformada de Fourier). Los practicantes de la industria que trabajan con opciones utilizarán muchos métodos diferentes, y si tomas clases de posgrado, te presentarán a estos diferentes métodos.
En cuanto a tu pregunta específica, los modelos que has enumerado no tienen sentido en el sentido de que métodos != modelos. Un modelo de difusión de salto es un modelo que modela la difusión del precio de una acción, es decir, te dice cómo se comportará la acción a lo largo del tiempo. Mientras que el método ADI es un método para resolver PDEs y no es un modelo de difusión de acciones.
La idea general de la fijación de precios de opciones es la siguiente:
- Decide el tipo de opción que estamos fijando el precio, digamos una opción de compra europea, y tendrá algún tipo de ecuación en la forma $C(S,T) = \text{max}(0,S_T - K)$. (El punto clave aquí es que nuestro precio se determina en $S$ en el tiempo $T$, por lo que necesitamos una distribución de $S$.)
- Suponemos algún tipo de difusión para el precio de la acción, $S_t$, que tendrá una ecuación diferencial estocástica (SDE). Esto podría ser modelos como volatilidad constante, difusión de salto, volatilidad estocástica, volatilidad local (determinista), tasa de interés estocástica, etc.
- Luego, para el modelo de $S_t$ elegido y la ecuación específica de fijación de precios de la opción, utilizamos algún tipo de método de resolución. Es decir, Monte-Carlo, PDE, Transformada de Fourier, etc.
Para la ecuación de la opción:
$$C = \text{max}(0, S_T - K) \quad\quad(1)$$
($K$ es el precio de ejercicio), necesitamos algún tipo de difusión del precio de la acción, $S_t$, digamos movimiento browniano geométrico:
$$dS_t = rS_tdt + \sigma S_tdW_t \quad\quad(2)$$
Pero también tendrá una interpretación de PDE:
$$ \frac{\partial C}{\partial t}+\frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2}+r S \frac{\partial C}{\partial S}-r C=0\quad\quad(3) $$
(Puedes llegar a esta PDE sin la interpretación probabilística (usando la SDE) pero ignoremos eso por ahora).
Podemos hacer 100,00 simulaciones del precio de la acción, insertarlos en (1), sacar el promedio y ese será el precio de la opción. Pero también en lugar de eso podemos utilizar la ecuación (2) y resolver la PDE utilizando ADI (u cualquier otro método de resolución de PDE, es decir, método explícito). Pero también podemos transformar la PDE utilizando la Transformada de Fourier para obtener una solución computacionalmente más rápida. Y finalmente, puedes llevarlo un paso más allá y resolver la PDE analíticamente para obtener la solución analítica:
$$ \begin{aligned} C\left(S_t, t\right) & =N\left(d_{+}\right) S_t-N\left(d_{-}\right) K e^{-r(T-t)} \\ d_{+} & =\frac{1}{\sigma \sqrt{T-t}}\left[\ln \left(\frac{S_t}{K}\right)+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)\right] \\ d_{-} & =d_{+}-\sigma \sqrt{T-t} \end{aligned} (4) $$
El punto clave: El método que se usa está determinado por la difusión de la acción que elijas, las herramientas y datos que tengas disponibles, etc. Si elegimos una difusión más complicada de $S_t$, la solución analítica (4) puede no existir, o la PDE puede ser inestable o difícil de manejar, lo que nos obliga a usar Monte-Carlo. No te enfocas en 1 modelo o 1 método ya que todos tienen su lugar.
2 ejemplos simplistas:
- Estás trabajando en un banco que tiene algunos ETFs SPY y quieren escribir (vender) algunas opciones de barrera. Tienen mucho tiempo y quieren el precio más preciso y tienen mucho tiempo, por lo que pueden modelar la difusión de la acción con características más complicadas, como el modelo de volatilidad local estocástica, que se usa típicamente para derivados dependientes del camino. Dado que tienen mucho tiempo, pueden implementar una simulación de Monte Carlo y hacer millones de simulaciones para llegar a una solución casi exacta para la opción dadas sus parámetros.
- Estás trabajando en un escritorio de negociación de opciones que está constantemente evaluando el precio de las opciones para las acciones que tienen en inventario. Necesitas un método rápido, por lo que optas por utilizar métodos de PDE.
