Acerca de la Caracterización de la Función Homotética - Matemáticas para Economistas de Simon y Blume Capítulo 20 Ejercicio 18(3)

Question

Estoy estudiando función homotética y tengo el siguiente problema:

Problema

Determinar si la función $x^3y^6 + 3x^2y^4 + 6xy^2 + 9$ es homotética o no.

Aquí está mi intento.

Mi Intento

Lo hice de dos maneras diferentes, pero obtuve dos respuestas opuestas. Primero, utilizando la siguiente definición de una función homotética, mostré que la función anterior es homotética.

Definición$\quad$ Una función $v:\mathbb{R}_{+}^{\mathbf{n}} \to \mathbb{R}$ se llama homotética si es una transformación monótona de una función homogénea, es decir, si existe una transformación monótona $z \mapsto g(z)$, donde $g:\mathbb{R}_{+} \to \mathbb{R}$, y una función homogénea $u:\mathbb{R}_{+}^{\mathbf{n}} \to \mathbb{R}_{+}$ tal que $v(\mathbf{x}) = g(u(\mathbf{x}))$ para todo $\mathbf{x}$ en $\mathbb{R}_{+}^{\mathbf{n}}$.

Respuesta 1$\quad$ $v(x,y) = x^3y^6 + 3x^2y^4 + 6xy^2 + 9 = (xy^2)^3 + 3(xy^2)^2 + 6xy^2 + 9$ es una transformación monótona de una función homogénea. Define $g:\mathbb{R}_{+} \to \mathbb{R}$ como $g(z) = z^3 + 3z^2 + 6z + 9$. Dado que $g'(z) = 3z^2 + 6z + 6 = 3(z+1)^2 + 3 > 0$, $g$ es estrictamente creciente. Define $u:\mathbb{R}_{+}^{2} \to \mathbb{R}_{+}$ como $u(x,y) = xy^2$. Entonces $u$ es homogénea de grado $3$. Por lo tanto, $v = g \circ u$ es homotética.

Sin embargo, si utilizo el siguiente teorema, obtendría que $v$ no es homotética.

Teorema$\quad$ Sea $u$ una función $C^1$ en $\mathbb{R}_{+}^{\mathbf{n}}$. $u$ es homotética si y solo si, para todo $\mathbf{x}$ en $\mathbb{R}_{+}^{\mathbf{n}}$, todo $t > 0$, y todo $i$, $j$, $$\begin{align*} \frac{\frac{\partial u}{\partial x_i}(t\mathbf{x})}{\frac{\partial u}{\partial x_j}(t\mathbf{x})} = \frac{\frac{\partial u}{\partial x_i}(\mathbf{x})}{\frac{\partial u}{\partial x_j}(\mathbf{x})}. \end{align*}$$

Respuesta 2$\quad$ Dado que para todo $x$ en $\mathbb{R}_{+}^{\mathbf{2}}$, $$\begin{align*} \frac{\frac{\partial v}{\partial x}(tx,ty)}{\frac{\partial v}{\partial y}(tx,ty)} = \frac{3(tx)^2(ty)^6 + 6(tx)(ty)^4 + 6(ty)^2}{6(tx)^3(ty)^5 + 12(tx)^2(ty)^3 + 12(tx)(ty)} \end{align*}$$ lo cual no es igual a $$\begin{align*} \frac{\frac{\partial v}{\partial x}(x,y)}{\frac{\partial v}{\partial y}(x,y)} = \frac{3x^2y^6 + 6xy^4 + 6y^2}{6x^3y^5 + 12x^2y^3 + 12xy}, \end{align*}$$ para todo $t > 0$, concluimos que $v$ no es homotética.

Mi Pregunta

¿Podría alguien por favor ayudarme a explicar por qué obtengo conclusiones opuestas en el problema anterior? ¿Qué estoy pasando por alto? ¡Lo aprecio mucho!

Answer 1

Proposición 1. Para $a>0,b>0,c>0,d>0$, si $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ entonces $\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{a}{b}$.

La prueba es inmediata.

Proposición 2. Para $a_i>0,b_i>0$, donde $i\in\{1,2,\ldots,n\}$, si $\dfrac{a_i}{b_i}=\dfrac{a_1}{b_1}$ (para todo $i\in\{1,2,\ldots,n\}$), entonces $\dfrac{\sum_{i=1}^{n}a_i}{\sum_{i=1}^{n}b_i}=\dfrac{a_1}{b_1}$.

Prueba. Usar inducción en la proposición 1.

Usando esta proposición, se deduce que $\dfrac{3(tx)^2(ty)^6}{6(tx)^3(ty)^5} = \dfrac{6(tx)(ty)^4}{12(tx)^2(ty)^3} = \dfrac{6(ty)^2}{12(tx)(ty)}=\dfrac{3x^2y^6}{6x^3y^5}=\dfrac{6xy^4}{12x^2y^3} = \dfrac{6y^2}{12xy}$ implica $\dfrac{3(tx)^2(ty)^6 + 6(tx)(ty)^4 + 6(ty)^2}{6(tx)^3(ty)^5 + 12(tx)^2(ty)^3 + 12(tx)(ty)}=\dfrac{3x^2y^6 + 6xy^4 + 6y^2}{6x^3y^5 + 12x^2y^3 + 12xy}$ para todo $t>0$.