¿Por qué el beta de acciones no es igual a su peso en el índice?

Question

El índice es una combinación lineal de los precios de las acciones con pesos conocidos. En caso de que el índice tenga un peso igual, los pesos están fijos. Beta mide la sensibilidad de una acción al índice, es decir, cuánto se mueve la acción cuando el índice se mueve un 1%. Por lo tanto, regresamos un componente de esa combinación lineal sobre la propia combinación lineal. ¿No debería el coeficiente de regresión correspondiente ser igual al peso de la acción en el índice?

Mi propia explicación de por qué esto podría no ser el caso:

1. Cuando regresamos una única acción sobre el índice, no tomamos en cuenta los efectos de confusión - la correlación de esta única acción con otras acciones. Por lo tanto, si ortogonalizamos los rendimientos de una sola acción con respecto a los rendimientos de todas las demás acciones y luego corremos una regresión de los residuos sobre los rendimientos del índice, ¿el beta debería ser igual al peso del índice?
2. El índice está ponderado en base a los precios mientras que el beta se calcula en base a los rendimientos. Entonces, si creamos un índice basado en rendimientos con pesos iguales y realizamos una ortogonalización como en 1) ¿entonces el beta debería ser igual al peso del índice?

Answer 1

Es trivial calcular los betas dados los pesos del índice $w$ y la matriz de covarianza de todas las acciones $\Sigma$:

El rendimiento del índice es

$$ r_{\rm index} = w^T r $$

El beta de las acciones respecto al índice es

$$ \beta = \frac{{\rm cov}(r, r_{\rm index})}{{\rm var}(r_{\rm index})} $$

con

$$ {\rm cov}(r, r_{\rm index}) = {\rm cov}(r, w^T r) = \Sigma w $$

y

$$ {\rm var}(r_{\rm index}) = {\rm cov}(w^T r, w^T r) = w^T \Sigma w $$

así que tienes

$$ \beta = \frac{\Sigma w}{w^T \Sigma w} $$

Entonces, si la matriz de covarianza es un múltiplo escalar de la identidad (es decir, todas las acciones no están correlacionadas y tienen la misma varianza) entonces el beta será proporcional (no igual) al peso del índice. Pero de lo contrario será diferente.