Ejercicio de microeconomía sobre rendimientos a escala

Question

Tengo un ejercicio en microeconomía que presenta la siguiente función Y = L^(1/2) * (W^(1/2) + K^(1/2))

Con L = trabajo, K = capital, W = agua

En una primera pregunta, nos piden encontrar cuáles son los rendimientos a escala para esta función y encontré que esta función tiene rendimientos constantes a escala. De hecho, al multiplicar todos los insumos por t (con t>1), obtenemos que es equivalente a multiplicar toda la función de producción por t.

Sin embargo, en la segunda pregunta, asumimos que el nivel de agua está fijado en el nivel Wf. Entiendo que ahora la función solo depende de K y L así que intenté multiplicar K y L por t, pero no puedo simplificar la función con respecto al factor t.

Me quedé atascado en la siguiente expresión: t^(1/2)*L^(1/2)_Wf^(1/2) + t_L^(1/2)*K^(1/2).

Espero que mi pregunta no sea demasiado confusa y agradezco a quien intente ayudarme :)

Answer 1

Si $W$ está fijo, la función de producción ya no tiene rendimientos constantes a escala. Lo único que puedes hacer es determinar los rendimientos a escala en un punto específico para los insumos. Si tienes una función de producción $Y(K,L)$, entonces los rendimientos a escala en un valor particular $(K,L)$ es simplemente la suma de las elasticidades de los insumos: $$ Y_L \frac{L}{Y} + Y_K \frac{K}{Y}. $$ En tu caso obtienes: $$ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \frac{L^{1/2} K^{1/2}}{L^{1/2}(K^{1/2} + W_f^{1/2})} $$ lo cual será estrictamente menor que 1 si $W_f$ es mayor que cero.

Answer 2

Definición 1. La función de producción $f(L, K, W)$ muestra Rendimientos Constantes a Escala en $(L,K,W)$ si para todo $t>1$, $f(tL,tK,tW) = tf(L,K,W)$.

Definición 2. La función de producción $f(L, K, W)$ muestra Rendimientos Decrecientes a Escala en $(L,K,W)$ si para todo $t>1$, $f(tL,tK,tW) < tf(L,K,W)$.

Claramente, la función de producción $f(L,K,W) = L^\frac{1}{2}(W^\frac{1}{2}+K^\frac{1}{2})$ muestra Rendimientos Constantes a Escala en todos los $(L,K,W)$ porque para cualquier $t>1$, $f(tL,tK,tW) = (tL)^\frac{1}{2}((tW)^\frac{1}{2}+(tK)^\frac{1}{2})=t\left(L^\frac{1}{2}(W^\frac{1}{2}+K^\frac{1}{2})\right)=tf(L,K,W)$

Ahora, supongamos que el agua está fija en $W_f$, por lo que la función de producción es $g(L,K)=f(L,K,W_f)=L^\frac{1}{2}(W_f^\frac{1}{2}+K^\frac{1}{2})$. Ahora consideremos cualquier $(L,K)$ donde $L>0$, $W_f>0$, y $K\geq 0$, para $t>1$, tenemos $g(tL, tK)=f(tL,tK,W_f)=(tL)^\frac{1}{2}(W_f^\frac{1}{2}+(tK)^\frac{1}{2})<(tL)^\frac{1}{2}((tW_f)^\frac{1}{2}+(tK)^\frac{1}{2})=t\left(L^\frac{1}{2}(W_f^\frac{1}{2}+K^\frac{1}{2})\right)=tf(L,K,W_f)=tg(L,K)$.

Por lo tanto, $f(L,K,W_f)$ muestra rendimientos decrecientes a escala en $(L,K,W_F)$ donde $L>0$, $W_f>0$, y $K\geq 0$. Puedes verificar que muestra rendimientos constantes a escala en otros lugares es decir si $L=0$ o $W_f=0$.