¿Cuándo la eficiencia de Pareto local es equivalente a la eficiencia de Pareto global?

Question

Dado un espacio de estados $X \subseteq \mathbb{R}^m$ y $n$ funciones de utilidad, $u_1,\ldots,u_n: X\to \mathbb{R}$, define un estado $x\in X$ como Localmente Pareto-eficiente si tiene un vecindario abierto $N(x)$ tal que ningún estado en $N(x)$ Pareto-domina a $x$.

¿Qué condiciones sobre las funciones $u_1,\ldots,u_n$ garantizan que cualquier estado localmente Pareto-eficiente también es (globalmente) Pareto-eficiente?

El caso más sencillo es cuando $n=1$, por lo que solo hay una función de utilidad. En este caso, un estado $x$ es localmente Pareto-eficiente si y solo si es un máximo local de $u_1$. Es bien sabido que, si $X$ es un conjunto convexo y $u_1$ es una función cóncava, entonces todo máximo local de $u_1$ es un máximo global.

Basándome en esto, supongo que, si $X$ es un conjunto convexo y $u_1,\ldots,u_n$ son funciones cóncavas, entonces cualquier estado localmente Pareto-eficiente también es (globalmente) Pareto-eficiente.

¿Es esto correcto?

Answer 1

Sí. La prueba es virtualmente la misma. Sea $x^*\in X$ un estado dominado de Pareto. Debe haber algún $x\in X$ tal que $u_i(x)>u_i(x^*)$ para algún agente $i$ y $u_j(x)\geq u_j(x^*)$ para cada agente $j$. Por concavidad, tenemos para todo $\alpha\in (0,1)$ que $u_i(\alpha x^*+(1-\alpha)x)>u_i(x^*)$ para el mismo agente $i$ y $u_j(\alpha x^*+(1-\alpha)x)\geq u_j(x^*)$ para cada agente $j$. Dado que cada vecindario de $x^*$ contiene un punto de la forma $\alpha x^*+(1-\alpha)x$, el estado $x^*$ no puede ser un óptimo de Pareto local.