Una pregunta acerca de un ejercicio en Hal R. Varian, Análisis Microeconómico (1984), Capítulo 3 Ejercicio 3.1 (c), Página 48

Question

Tengo una pregunta sobre el siguiente ejercicio:

Una empresa competitiva que maximiza sus beneficios tiene una función de beneficio $\pi(w_1, w_2) = \phi_1(w_1) + \phi_2(w_2)$. El precio de la producción se normaliza en 1.
(c). Sea $f(x_1,x_2)$ la función de producción que generó la función de beneficio en esta forma. ¿Qué podemos decir sobre la forma de esta función de producción? (Pista: mira la condición de primer orden.)

La solución proporcionada afirma que

La demanda del factor $i$ es solamente una función del precio del $i$-ésimo. Por lo tanto, el producto marginal del factor $i$ solamente puede depender de la cantidad del factor $i$. Se sigue que $f(x_1,x_2)=g_1(x_1) + g_2(x_2)$.

¿Podría alguien ayudar a proporcionar una prueba matemática sobre esto?

Mi proceso es el siguiente: Por el Lema de Hotelling, $$ -x_1(w_1, w_2) = \frac{\partial \pi}{\partial w_1} = \frac{\partial \phi_1(w_1)}{\partial w_1} $$ Por lo tanto, la función de demanda del factor para el bien 1 solamente depende de $w_1$ y podemos reescribirla como $x_1(w_1)$. De manera similar, la función de demanda del factor para el bien 2 es $x_2(w_2)$.

Ahora la función de beneficio es $$ \pi(w_1,w_2) = \max_x f(x_1,x_2) - w_1 x_1 - w_2 x_2. $$ Por la condición de primer orden, cuando $x_1,x_2$ alcanzan el óptimo, $$ \frac{\partial}{\partial x_i} f(x_1(w_1), x_2(w_2)) = w_i. $$ ¿Cómo podemos usar esta condición para derivar

El producto marginal del factor $i$ solamente puede depender de la cantidad del factor $i$ ???

Gracias.

Answer 1

Si uno sigue tus cálculos y diferencia la condición de primer orden, $$ \frac{\partial}{\partial x_1} f(x_1^*, x_2^*) = w_1 $$ con respecto a $w_2,$ esto resulta en $$ \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 ^2} (x_1^*, x_2^*) \frac{\partial x^*_1}{\partial w_2} (w) + \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} (x_1^*, x_2^*) \frac{\partial x^*_2}{\partial w_2} (w) = 0. $$ Si tenemos $\partial x^*_1 / \partial w_2 (w)=0$ y $\partial x^*_2 / \partial w_2 (w) \neq 0,$ entonces $$ \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} (x_1^*, x_2^*)=0, $$ para cualquier $(x_1^*, x_2^*) \in S(w).$ Esta condición implica que $f(x_1, x_2)=g_1(x_1)+g_2(x_2)$ en el conjunto de entradas $ X = \bigcup\limits_{w\in \mathbb{R}^2} S(w)$.

EDICIÓN: Integrando $$ \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} (x_1, x_2)=0 $$ con respecto a $x_1$, obtenemos $$ \frac{\partial f}{\partial x_2} (x_1, x_2)=h_2(x_2), $$ e integrando con respecto a $x_2$ obtenemos la función de producción para $x \in X$: $$ f(x_1, x_2)=g_1(x_1)+g_2(x_2). $$