Prueba significando con un tamaño de muestra más pequeño es una dispersión preservadora de medias

Question

Estoy intentando el siguiente ejercicio de las excelentes notas de conferencia de Annie Liang:

He escrito una prueba intentada (abajo), pero me preocupa la suposición de independencia que hago. En particular, ¿acaso no puedo decir que $\mathbb{E}[\sum^n_{i = n'+1} Y_i | \overline{Y}_n) = \mu$?

Intento

Quiero demostrar que: $\mathbb{E}[\overline{Y}_{n'} | \overline{Y}_n] = \overline{Y}_n$

$$\begin{align} \overline{Y}_{n'} &= \frac{1}{n'} \sum_{i=1}^{n'} Y_i\\ &= \frac{1}{n'} \bigg[ \sum_{i=1}^{n} Y_i - \sum_{i=n'+1}^{n} Y_i \bigg] \\ &= \frac{1}{n'} \bigg[ n \overline{Y}_n - \sum_{i=n'+1}^{n} Y_i \bigg] \\ &= \frac{n}{n'} \overline{Y}_n - \frac{1}{n'} \bigg[ \sum_{i=n'+1}^{n} Y_i \bigg] \\ &= \overline{Y}_n + \dfrac{n - n'}{n'} \overline{Y}_n - \frac{1}{n'} \sum^n_{i = n'+1} Y_i \\ &= \overline{Y}_n + \dfrac{n - n'}{n'} \sum_{i=1}^n Y_i- \frac{1}{n'} \sum^n_{i = n'+1} Y_i \end{align}$$

Luego puedo calcular las expectativas condicionales de $\overline{Y}_n$, suponiendo que $\mathbb{E}(Y_n) = \mu$. Observa que la independencia $\implies \sum^n_{i = n'+1} Y_i = (n - n') \mu$. $$\begin{align} \mathbb{E}[\overline{Y}_{n'} | \overline{Y}_n] &= \overline{Y}_n + \frac{1}{n'}\frac{n-n'}{n} n \mu - \frac{1}{n'} \mu (n - n') \\ &= \overline{Y}_n + \mu \bigg[ \frac{n-n'}{n'} - \frac{n-n'}{n'} \bigg] \\ &= \overline{Y}_n \end{align}$$

Answer 1

El siguiente hecho es clave. Dado que $\bar{Y}_n=n^{-1}\sum_{i=1}^n Y_i$, podemos tomar expectativas condicionales sobre $\bar{Y}_n$ y usar que $\{Y_i\}$ es una secuencia i.i.d. para obtener $$\bar{Y}_n=\mathbb{E}[\bar{Y}_n|\bar{Y}_n]=n^{-1}\sum_{i=1}^n\mathbb{E}[Y_i|\bar{Y}_n]=\mathbb{E}[Y_1|\bar{Y}_n]$$

Usando esto, encontramos que $$\mathbb{E}\left[\sum_{i=n'+1}^nY_i\Bigg|\bar{Y}_n\right]=\sum_{i=n'+1}^n \mathbb{E}[Y_i|\bar{Y}_n]=(n-n')\mathbb{E}[Y_1|\bar{Y}_n]=(n-n')\bar{Y}_n$$

Por lo tanto, utilizando tu expresión $$\bar{Y}_{n'}=\bar{Y}_n+\frac{n-n'}{n'}\bar{Y}_n-\frac{1}{n'}\sum_{i=n'+1}^nY_i$$ podemos derivar que $$\begin{align*} \mathbb{E}[\bar{Y}_{n'}|\bar{Y}_n] &=\bar{Y}_n+\frac{n-n'}{n'}\bar{Y}_n -\frac{1}{n'}\mathbb{E}\left[\sum_{i=n'+1}^nY_i\Bigg|\bar{Y}_n\right] \\ &=\bar{Y}_n+\frac{n-n'}{n'}\bar{Y}_n-\frac{n-n'}{n'}\bar{Y}_n \\ &= \bar{Y}_n\end{align*} $$

También podríamos haber obtenido esto sin ninguna manipulación de la suma notando que $$\mathbb{E}[\bar{Y}_{n'}|\bar{Y}_n]=\frac{1}{n'}\sum_{i=1}^{n'}\mathbb{E}[Y_i|\bar{Y}_n]\stackrel{i.i.d.}{=}\mathbb{E}[Y_1|\bar{Y}_n]=\bar{Y}_n$$