Problema de microeconomía cuasi-lineal

Question

Chicos, necesito su ayuda para resolver el siguiente problema. Aquí está mi intento.

Dada la función: $$u(x_1,x_2)=x_1+x_2^\beta, \ \ \beta \in (0,1).$$

• Escribe la FPU y resuelve las Demandas de Walras de $x_1, x_2$.
• ¿El bien 1 es un bien normal? ¿Y el bien 2?
• Calcula la función de utilidad indirecta para este problema y muestra que puede escribirse como $v(w,\mathbf{p})=\tilde{v}(w,p_1)$.

Mi intento: $$\mathcal{L}(\mathbf{x},\lambda)=x_1+x_2^\beta-\lambda(p_1x_1+p_2x_2-w).$$ $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_1}=1-\lambda p_1 = 0.$$ $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_2}=\beta x_2^{(\beta - 1)}-\lambda p_2 = 0$$ $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda}=p_1x_1+p_2x_2=w = 0$$ Al resolver el sistema, obtengo: $$x_1^*(\mathbf{p},w)=\frac{w}{p_1}-(\frac{p_2}{p_1})^{\frac{\beta}{\beta -1}}\cdot \frac{1}{\beta^{\frac{1}{\beta - 1}}} \\ x_2^*(\mathbf{p},w)=(\frac{p_2}{\beta p_1})^{\frac{1}{\beta -1}}$$ Se define un bien como normal si $\frac{\partial x_i^*}{\partial w} > 0.$ $$\frac{\partial x_1^*}{\partial w} = \frac{1}{p_1} > 0.$$ El bien 1 es un bien normal. El bien 2 no es una función de $w$, lo que implica que $x_2$ es un bien neutral.

Función de utilidad indirecta: $$v(\mathbf{p},w) \equiv u(x_1^*,x_2^*) $$ $$v(\mathbf{p},w)= \frac{w}{p_1}-(\frac{p_2}{p_1})^{\frac{\beta}{\beta -1}}\cdot \frac{1}{\beta^{\frac{1}{\beta - 1}}}+((\frac{p_2}{\beta p_1})^{\frac{1}{\beta -1}})^\beta .$$ La función de utilidad indirecta es función de ambos $p_1,p_2$, ¿cómo puedo mostrar que es función de $p_1$ solamente?

Answer 1

Aquí está el problema de maximización de la utilidad: \begin{eqnarray*}\max_{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2_+} & x_1+x_2^\beta \\ \text{s.t. } & p_1x_1+p_2x_2\leq M\end{eqnarray*} donde $p_1>0, p_2>0, M\geq 0, \beta\in (0,1)$ se dan. Resolviendo este problema, obtenemos la demanda como: \begin{eqnarray*}(x_1^d,x_2^d)(p_1,p_2,M)=\begin{cases} \left(0,\frac{M}{p_2}\right) & \text{if } M La función de utilidad indirecta es $v(p_1,p_2,M)=\frac{\max\left\{M-p_2\left(\frac{\beta p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{1-\beta}},0\right\}}{p_1}+\left(\min\left\{\left(\frac{\beta p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{1-\beta}},\frac{M}{p_2}\right\}\right)^\beta$