Consideremos el problema de consumo-ahorro de un agente de vida infinita. El agente recibe e>0 unidades de dotación en cada período, puede ahorrar a través de un activo con retorno constante R. El agente tiene inicialmente s0 unidades del activo. En el período t, él elige la cantidad a consumir ct y a ahorrar st+1. En t+1, sus recursos disponibles totales son la dotación e y el retorno total del ahorro Rst+1. El agente maximiza la utilidad vitalicia descontada ∑∞t=0βtu(ct) con factor de descuento β∈(0,1). No puede endeudarse, es decir, st+1≥0 para todo t0. Supongamos que R∈[0,1β], y que u es estrictamente creciente, estrictamente cóncava y continuamente diferenciable.
Supongamos que s0=0. Demuestra que s∗t+1=0 para todo t≥0 es la solución única al problema secuencial.
Aquí está mi intento:
El problema secuencial es max
Supongamos s_0=0. Si queremos demostrar que s_{t+1}^*=0 para todo t\geq 0. Por hipótesis de inducción, sea s_t=0. Así, el problema secuencial en el período t es \begin{align} \max\sum_{\tau=t}^\infty \beta^t u(c_\tau)\\ s.t. c_t+s_{t+1}=e\\ c_{\tau}+s_{\tau+1}=Rs_{\tau}+e\\ s_{t+1}\geq 0 \end{align}
Luego el Lagrangiano: \sum_{\tau=t}^\infty \beta^t u(c_\tau)+\lambda_t (e-s_{t+1}-c_t)+\lambda_{\tau}(Rs_{\tau}+e-c_{\tau}-s_{\tau+1})+\mu s_{t+1}
Condiciones de primer orden: \begin{align} [s_{t+1}]\lambda_t=\lambda_{t+1}R+\mu\\ [c_{t}] \beta^t u'(c_t)=\lambda_t\\ [c_{t+1}]\beta^{t+1}u'(c_{t+1})=\lambda_{t+1} \end{align}
Supongamos por contradicción, s_{t+1}^*\neq 0\implies s_{t+1}^*>0. Por holgura complementaria, \mu=0\implies \lambda_t=\lambda_{t+1}R\implies u'(c_t)=\beta u'(c_{t+1})R. Dado que \beta R\leq 1, tenemos u'(c_t)\leq u'(c_{t+1})\implies c_t\geq c_{t+1}.
Dado que s_{t+1}^*>0 y s_t=0, por c_t+s_{t+1}=Rs_t+e, tenemos que c_t. Por lo tanto, c_{t+1}\leq c_t.
No sé cómo llegar a una contradicción. ¿Alguien puede ayudar?
