Consideremos el problema de consumo-ahorro de un agente de vida infinita. El agente recibe $e > 0$ unidades de dotación en cada período, puede ahorrar a través de un activo con retorno constante $R$. El agente tiene inicialmente $s_0$ unidades del activo. En el período $t$, él elige la cantidad a consumir $c_t$ y a ahorrar $s_{t+1}$. En $t + 1$, sus recursos disponibles totales son la dotación $e$ y el retorno total del ahorro $R s_{t+1}$. El agente maximiza la utilidad vitalicia descontada $\sum_{t=0}^\infty \beta^t u(c_t)$ con factor de descuento $\beta\in (0, 1)$. No puede endeudarse, es decir, $s_{t+1} \geq 0$ para todo $t 0$. Supongamos que $R \in [0, \frac{1}{\beta}]$, y que u es estrictamente creciente, estrictamente cóncava y continuamente diferenciable.
Supongamos que $s_0=0$. Demuestra que $s_{t+1}^*=0$ para todo $t\geq 0$ es la solución única al problema secuencial.
Aquí está mi intento:
El problema secuencial es \begin{align} \max \sum_{t=0}^\infty \beta^t u(e+Rs_t-s_{t+1})\\ s.t. s_{t+1}\in\Gamma(s_t)\\ s_0\text{ es dado} \end{align}
Supongamos $s_0=0$. Si queremos demostrar que $s_{t+1}^*=0$ para todo $t\geq 0$. Por hipótesis de inducción, sea $s_t=0$. Así, el problema secuencial en el período $t$ es \begin{align} \max\sum_{\tau=t}^\infty \beta^t u(c_\tau)\\ s.t. c_t+s_{t+1}=e\\ c_{\tau}+s_{\tau+1}=Rs_{\tau}+e\\ s_{t+1}\geq 0 \end{align}
Luego el Lagrangiano: $$\sum_{\tau=t}^\infty \beta^t u(c_\tau)+\lambda_t (e-s_{t+1}-c_t)+\lambda_{\tau}(Rs_{\tau}+e-c_{\tau}-s_{\tau+1})+\mu s_{t+1}$$
Condiciones de primer orden: \begin{align} [s_{t+1}]\lambda_t=\lambda_{t+1}R+\mu\\ [c_{t}] \beta^t u'(c_t)=\lambda_t\\ [c_{t+1}]\beta^{t+1}u'(c_{t+1})=\lambda_{t+1} \end{align}
Supongamos por contradicción, $s_{t+1}^*\neq 0\implies s_{t+1}^*>0$. Por holgura complementaria, $\mu=0\implies \lambda_t=\lambda_{t+1}R\implies u'(c_t)=\beta u'(c_{t+1})R$. Dado que $\beta R\leq 1$, tenemos $u'(c_t)\leq u'(c_{t+1})\implies c_t\geq c_{t+1}$.
Dado que $s_{t+1}^*>0$ y $s_t=0$, por $c_t+s_{t+1}=Rs_t+e$, tenemos que $c_t. Por lo tanto, $c_{t+1}\leq c_t.
No sé cómo llegar a una contradicción. ¿Alguien puede ayudar?
