Del artículo, High-frequency trading in a limit order book, (Avellaneda, 2006), de las ecuaciones (16) y (17), el precio de reserva se da por
$$ \begin{aligned} \theta_t + \dfrac{1}{2} \sigma^2 \theta_{s s} - \dfrac{1}{2} \sigma^2 \gamma \theta_s^2 & + \max_{\delta^b}\left[\frac{\lambda^b\left(\delta^b\right)}{\gamma}\left[1-\mathrm{e}^{\gamma\left(s-\delta^b-r^b\right)}\right]\right] \\ & + \max _{\delta^b}\left[\frac{\lambda^a\left(\delta^a\right)}{\gamma}\left[1-\mathrm{e}^{-\gamma\left(s+\delta^a-r^a\right)}\right]\right]=0, \end{aligned} $$ con
Luego tenemos: $$ \begin{aligned} &\delta^b = s-\theta(s, q, t)-\theta(s, q+1, t)+\frac{1}{\gamma} \ln \left(1-\gamma \frac{\lambda^b\left(\delta^b\right)}{\left(\partial \lambda^b / \partial \delta\right)\left(\delta^b\right)}\right)\\ &\delta^a =\theta(s, q, t)-\theta(s, q-1, t)-s+\frac{1}{\gamma} \ln \left(1-\gamma \frac{\lambda^a\left(\delta^a\right)}{\left(\partial \lambda^a / \partial \delta\right)\left(\delta^a\right)}\right) \end{aligned} $$
donde $ q \in [q_{min},q_{min}+1,..,q_{max}]$, es el inventario.
Estoy luchando por entender el hecho de que solo podemos obtener $\delta$ en un dominio truncado, pero necesitamos una solución para $\theta$ en el dominio completo, pero $\theta$ en el siguiente paso depende de la $\delta$ del paso anterior que será truncada… Más explícitamente:
Q1)
Parecería que al resolver $\delta_t^a$ y $\delta_t^b$, solo podemos obtener $\delta_t^a$ en el dominio truncado $q \in [q_{min} + 1, q_{min}+2,..,q_{max}]$ y $\delta_t^b$ en el dominio truncado $q \in [q_{min}, q_{min}+1,..,q_{max}-1]$, porque estamos tomando la diferencia hacia adelante y hacia atrás de la solución de la EDP, como se muestra en las ecuaciones de $\delta$. Pero luego para $\delta_{t+1}^a$ y $\delta_{t+1}^b$ en ese mismo dominio truncado, requeriríamos de $\theta(t+1,q)$ en $[q_{min},q_{max}]$, lo cual luego requiere de $\delta_t^a$ y $\delta_t^b$ en el DOMINIO COMPLETO, lo cual no tenemos, ya que solo obtenemos la solución en el dominio truncado.
¿Cómo solucionamos este problema? En las ecuaciones 23 y 25 de Aydogan, et al, (2022), aunque utilizan la versión de volatilidad estocástica, también muestran que los bid-ask óptimos solo se resuelven en el dominio truncado, pero de manera similar a Avellaneda, su función de utilidad requiere el bid-ask óptimo del paso anterior en el dominio completo… Ninguno de los dos proporciona una condición límite de $q$ para $\theta(t,q), \; \forall t$, y ninguno explica cómo calculan $\theta(t,q)$ en el dominio completo cuando solo tienen $\delta_t$ en el dominio truncado.
Q2)
Si en cambio decidimos hacer market making en la opción (no en el subyacente) y delta-hedge colocando MOs en el mercado de acciones simultáneamente, aún podemos obtener beneficios porque típicamente el spread de la opción es mayor que el del subyacente. Si luego decidimos también hacer un gamma-hedge, es decir, un gamma-delta-hedge, y digamos que tenemos cierto grado de confianza en nuestra predicción de la volatilidad de mañana (las volatilidades tienden a agruparse), ¿sería razonable eliminar el inventario, $q$, de la función de utilidad?
Dado que hemos cubierto el delta, gamma (y la volatilidad de mañana probablemente será similar a la de hoy), no tendríamos mucha exposición al mantener opciones durante la noche, por lo que parece que no debería haber mucha penalización por tener inventario después de que cierre el mercado.