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Avellaneda High-frequency trading in a limit order book

Del artículo, High-frequency trading in a limit order book, (Avellaneda, 2006), de las ecuaciones (16) y (17), el precio de reserva se da por

$$ \begin{aligned} \theta_t + \dfrac{1}{2} \sigma^2 \theta_{s s} - \dfrac{1}{2} \sigma^2 \gamma \theta_s^2 & + \max_{\delta^b}\left[\frac{\lambda^b\left(\delta^b\right)}{\gamma}\left[1-\mathrm{e}^{\gamma\left(s-\delta^b-r^b\right)}\right]\right] \\ & + \max _{\delta^b}\left[\frac{\lambda^a\left(\delta^a\right)}{\gamma}\left[1-\mathrm{e}^{-\gamma\left(s+\delta^a-r^a\right)}\right]\right]=0, \end{aligned} $$ con

Luego tenemos: $$ \begin{aligned} &\delta^b = s-\theta(s, q, t)-\theta(s, q+1, t)+\frac{1}{\gamma} \ln \left(1-\gamma \frac{\lambda^b\left(\delta^b\right)}{\left(\partial \lambda^b / \partial \delta\right)\left(\delta^b\right)}\right)\\ &\delta^a =\theta(s, q, t)-\theta(s, q-1, t)-s+\frac{1}{\gamma} \ln \left(1-\gamma \frac{\lambda^a\left(\delta^a\right)}{\left(\partial \lambda^a / \partial \delta\right)\left(\delta^a\right)}\right) \end{aligned} $$

donde $ q \in [q_{min},q_{min}+1,..,q_{max}]$, es el inventario.

Estoy luchando por entender el hecho de que solo podemos obtener $\delta$ en un dominio truncado, pero necesitamos una solución para $\theta$ en el dominio completo, pero $\theta$ en el siguiente paso depende de la $\delta$ del paso anterior que será truncada… Más explícitamente:

Q1)

Parecería que al resolver $\delta_t^a$ y $\delta_t^b$, solo podemos obtener $\delta_t^a$ en el dominio truncado $q \in [q_{min} + 1, q_{min}+2,..,q_{max}]$ y $\delta_t^b$ en el dominio truncado $q \in [q_{min}, q_{min}+1,..,q_{max}-1]$, porque estamos tomando la diferencia hacia adelante y hacia atrás de la solución de la EDP, como se muestra en las ecuaciones de $\delta$. Pero luego para $\delta_{t+1}^a$ y $\delta_{t+1}^b$ en ese mismo dominio truncado, requeriríamos de $\theta(t+1,q)$ en $[q_{min},q_{max}]$, lo cual luego requiere de $\delta_t^a$ y $\delta_t^b$ en el DOMINIO COMPLETO, lo cual no tenemos, ya que solo obtenemos la solución en el dominio truncado.

¿Cómo solucionamos este problema? En las ecuaciones 23 y 25 de Aydogan, et al, (2022), aunque utilizan la versión de volatilidad estocástica, también muestran que los bid-ask óptimos solo se resuelven en el dominio truncado, pero de manera similar a Avellaneda, su función de utilidad requiere el bid-ask óptimo del paso anterior en el dominio completo… Ninguno de los dos proporciona una condición límite de $q$ para $\theta(t,q), \; \forall t$, y ninguno explica cómo calculan $\theta(t,q)$ en el dominio completo cuando solo tienen $\delta_t$ en el dominio truncado.

Q2)

Si en cambio decidimos hacer market making en la opción (no en el subyacente) y delta-hedge colocando MOs en el mercado de acciones simultáneamente, aún podemos obtener beneficios porque típicamente el spread de la opción es mayor que el del subyacente. Si luego decidimos también hacer un gamma-hedge, es decir, un gamma-delta-hedge, y digamos que tenemos cierto grado de confianza en nuestra predicción de la volatilidad de mañana (las volatilidades tienden a agruparse), ¿sería razonable eliminar el inventario, $q$, de la función de utilidad?

Dado que hemos cubierto el delta, gamma (y la volatilidad de mañana probablemente será similar a la de hoy), no tendríamos mucha exposición al mantener opciones durante la noche, por lo que parece que no debería haber mucha penalización por tener inventario después de que cierre el mercado.

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illicit Puntos 14

Q1: Condiciones límite en modelos HFT

En la modelización financiera, especialmente para HFT en libros de órdenes limitadas, tratar las condiciones límite es crucial cuando el dominio del modelo está truncado debido a la discretización de los niveles de inventario. Un enfoque común para abordar la discrepancia entre los dominios truncados y completos para variables como (\delta_a) y (\delta_b) implica la extrapolación o suposiciones de estabilidad cerca de las fronteras.

Por ejemplo, Avellaneda & Stoikov (2008) abordan esto asumiendo implícitamente un comportamiento límite que garantiza la ausencia de arbitraje y mantiene la consistencia del modelo en todos los niveles de inventario. Cuando no se proporcionan condiciones límite explícitas, un enfoque práctico es extrapolar los valores de (\delta) desde el interior del dominio o aplicar un razonamiento económico para inferir el comportamiento límite (Cartea et al., 2015).

Referencias:

  • Avellaneda, M., & Stoikov, S. (2008). High-frequency trading in a limit order book. Quantitative Finance, 8(3), 217-224.
  • Cartea, Á., Jaimungal, S., & Penalva, J. (2015). Algorithmic and High-Frequency Trading. Cambridge University Press.

Q2: Creación de mercado en opciones y estrategias de cobertura

Cuando se considera la creación de mercado en opciones y el empleo de estrategias de cobertura delta-gamma, se debate la necesidad de incluir niveles de inventario en la función de utilidad. La cobertura eficaz puede mitigar teóricamente los riesgos asociados con la retención de inventario, especialmente cuando se tiene confianza en la predicción del agrupamiento de la volatilidad (Foucault, Pagano, & Röell, 2013).

Sin embargo, es fundamental reconocer que ninguna estrategia de cobertura elimina por completo los riesgos del mercado, incluidos los riesgos de liquidez y las inexactitudes del modelo. Si bien la cobertura delta-gamma reduce la exposición a movimientos de precios y curvaturas, no cubre los riesgos de saltos o los costos de transacción, que pueden afectar significativamente la rentabilidad en entornos de alta frecuencia.

Referencia:

  • Foucault, T., Pagano, M., & Röell, A. (2013). Market Liquidity: Theory, Evidence, and Policy. Oxford University Press.

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