Bajo Black-Scholes, evalúe un contrato con valor $S_T^{2}log(S_T)$ al vencimiento.
Esta es una pregunta del libro Quant de Joshi (una pregunta de extensión).
Ok, así que resolví esto con 3 métodos diferentes para asegurarme de entender los conceptos. Desafortunadamente, 2 de los 3 métodos dan la misma respuesta pero el tercero no (aunque está solo por un factor). Me pregunto dónde estoy yendo mal y cuál es la solución correcta (si es que una de ellas es en efecto correcta).
Sea $V_0$ el valor de nuestra seguridad derivada.
Método 1: Valoración bajo la medida de probabilidad neutra al riesgo.
$V_0 = e^{-rT}\tilde{E}(S_T^{2}log(S_T))$ donde la expectativa se toma bajo la medida de probabilidad neutral al riesgo.
Aquí, simplemente calculo la expectativa directamente con la ayuda de la función generadora de momentos de la siguiente manera:
Bajo la medida de probabilidad neutral al riesgo,
$S(t) = e^{ln(S_0) + (r-0.5\sigma^2)t + \sigma(W_t - W_0)}$
Defina una variable aleatoria $X \sim N(ln(S_0) + (r-0.5\sigma^2)T, \sigma^2T)$.
Fijando $log(S_T) = X$ y $S_T = e^X$, obtenemos:
Entonces, $V_0 = e^{-rT}\tilde{E}(Xe^{2X})$.
Ahora, usamos la función generadora de momentos de X para calcular esta expectativa.
$M_X(s) = \tilde{E}(e^{sX})$ y así, al diferenciar con respecto a s y evaluar en $s=2$, obtenemos:
$M_X'(2) = \tilde{E}(Xe^{2X}) = (ln(S_0) + (r + 1.5\sigma^2)T)S_0^2e^{(2r+\sigma^2)T}$
(Aquí, uso que para $X \sim N(\nu, \lambda^2)$, tenemos $M_X(s) = e^{s\nu + 0.5s^2\lambda^2}$ y por lo tanto $M_X'(2) = (\nu + 2\lambda^2)e^{2\nu + 2\lambda^2})$
Por lo tanto, $V_0 = e^{-rT}\tilde{E}(Xe^{2X}) = (ln(S_0) + (r + 1.5\sigma^2)T)S_0^2e^{(r+\sigma^2)T}$.
Método 2: Usando la acción como numéraire.
Aquí, $V_0 = S_0 \hat{E}(S_Tlog(S_T))$ donde la expectativa se toma bajo la medida de la acción.
Bajo la medida de la acción,
$S(t) = e^{ln(S_0) + (r+0.5\sigma^2)t + \sigma(W_t - W_0)}$
Defina una variable aleatoria $X \sim N(ln(S_0) + (r+0.5\sigma^2)T, \sigma^2T)$.
Fijando $log(S_T) = X$ y $S_T = e^X$, obtenemos:
Entonces, $V_0 = S_0\hat{E}(Xe^{X})$.
Usando el mismo proceso que en el Método 1, obtengo la misma respuesta exacta.
(la única diferencia en el proceso es que evaluo la función generadora de momentos en 1 para la primera derivada en lugar de 2 y multiplico por $S_0$ al final en lugar de $e^{-rT}$).
Método 3: Usando la acción al cuadrado como numéraire.
Aquí, $V_0 = S_0^2 E^\star(log(S_T))$ donde la expectativa se toma bajo la medida asociada.
Bajo este cambio de medida con una Derivada de Radon-Nikodym $Z(t) = d\hat{P}/d\tilde{P} = e^{-rt}S_t^2/S_0^2$, determiné que el término de deriva es $(r+2\sigma^2)$ para el proceso de la acción $S_t$. Dado que el término de difusión no se ve afectado por el cambio de medida, tenemos:
$dS_t = (r+2\sigma^2)S_tdt + \sigma S_tdW^\star_t$
Por lo tanto, $S(t) = e^{ln(S_0) + (r+1.5\sigma^2)t + \sigma(W_t - W_0)}$
Recuerde que deseamos calcular $V_0 = S_0^2 E^\star(log(S_T))$.
Defina una variable aleatoria $X \sim N(ln(S_0) + (r+1.5\sigma^2)T, \sigma^2T)$.
Fijando $log(S_T) = X$ obtenemos:
Luego, $V_0 = S_0^2\hat{E}(X) = S_0^2(ln(S_0) + (r + 1.5\sigma^2)T)$
Entonces, aquí me falta ese término $e^{(r+\sigma^2)T}$.
Entonces, ¿qué estoy haciendo mal? ¿Y cuál es correcto?
¡Gracias de antemano!
