Planificador social vs. Hogar representativo

Question

¿Hay alguna diferencia entre resolver el problema del planificador social o el de la casa representativa en el modelo de Ramsey-Cass-Koopmans?

El planificador social elige un plan $\left\{c_t, l_t, k_{t+1}\right\}_{t=0}^{\infty}$ para maximizar la utilidad sujeta a la restricción de recursos de la economía, tomando $k_0$ inicial como dado: $$ \begin{gathered} \max \mathcal{U}_0=\sum_{t=0}^{\infty} \beta^t U\left(c_t, 1-l_t\right) \\ c_t+k_{t+1} \leq(1-\delta) k_t+F\left(k_t, l_t\right), \quad \forall t \geq 0 \\ c_t \geq 0, \quad l_t \in[0,1], \quad k_{t+1} \geq 0 ., \quad \forall t \geq 0 \\ k_0>0 \text { dado } \end{gathered} $$ Esto se llama el problema del planificador social.

Dada una secuencia de precios $\left\{R_t, w_t\right\}_{t=0}^{\infty}$, la casa $j$ elige un plan $\left\{c_t^j, l_t^j, k_{t+1}^j\right\}_{t=0}^{\infty}$ para maximizar la utilidad de por vida sujeta a sus restricciones presupuestarias $$ \begin{gathered} \max \mathcal{U}_0^j=\sum_{t=0}^{\infty} \beta^t U\left(c_t^j, 1-l_t^j\right) \\ \text { s.t. } c_t^j+a_{t+1}^j \leq\left(1+R_t\right) a_t^j+w_t l_t^j \\ c_t^j \geq 0, \quad l_t^j \in[0,1], \quad a_{t+1}^j \geq \underline{a}_{t+1} \end{gathered} $$ Esto se llama el problema de la casa.

Answer 1

Si asumimos que existe un único hogar (hay algunas sutilezas en cómo se define un hogar representativo), entonces la optimalidad de Pareto es la misma que resolver el problema del planificador.

El primer teorema del bienestar establece las condiciones bajo las cuales cada equilibrio competitivo es óptimo de Pareto, y el segundo teorema del bienestar establece las condiciones bajo las cuales cada óptimo de Pareto es un equilibrio competitivo después de una redistribución adecuada de dotaciones. Con un agente, no hay nada que redistribuir.

Hay dos advertencias en cómo los teoremas del bienestar difieren de los modelos habituales con un número finito de productos conocidos de los cursos de microeconomía. Para que la demostración del primer teorema del bienestar se realice, debes poder reescribir el problema recursivo como un problema de secuencia. En particular, los precios deben ser tales que los valores totales sean finitos. Para el segundo teorema del bienestar, se necesitan algunas suposiciones técnicas adicionales para garantizar que la versión de dimensión infinita del teorema del hiperplano separador, el teorema geométrico de Hahn-Banach, se aplique. Para suposiciones adecuadas y una demostración, puedes echar un vistazo al Capítulo 5 de "Introducción al crecimiento económico moderno" de Acemoglu.