Numéraires cambio

Question

Actualmente estoy leyendo el libro de Brigo y Mercurio sobre modelos de tasas de interés. Estoy atascado en la comprensión de la prueba de cambio de numerario para la proposición 2.3.1. ¿Podría alguien ser tan amable de iluminarme sobre esto? ¡Muchas gracias! Saludos cordiales.

Edit, aquí la parte:

Answer 1

Según la definición de la página anterior, se asume que la dinámica de $S_t/U_t$ está dada por:
\begin{align*} d \frac{S_t}{U_t} = \sigma_t^{S/U} dW_t^U \end{align*} Además, por el lema de Ito tenemos que: \begin{align*} d \frac{1}{U_t} = - \frac{1}{U_t^2} dU_t + \frac{1}{U_t^3} dU_t dU_t \end{align*} Por la regla de Leibniz, sustituyendo en el resultado anterior, así como en las dinámicas de $S_t$ y $U_t$: \begin{align*} d \frac{S_t}{U_t} &= \frac{1}{U_t} dS_t + S_t d \frac{1}{U_t} + dS_t d \frac{1}{U_t} \\ &= \frac{1}{U_t} dS_t + S_t \left( - \frac{1}{U_t^2} dU_t + \frac{1}{U_t^3} dU_t dU_t \right) + dS_t \left( - \frac{1}{U_t^2} dU_t + \frac{1}{U_t^3} dU_t dU_t \right) \\ &= \frac{1}{U_t} \left( \mu_t^S dt + \sigma_t^S dW_t^U \right) + S_t \left( - \frac{1}{U_t^2} \left( \mu_t^U dt + \sigma_t^U dW_t^U \right) + \frac{1}{U_t^3} (\sigma_t^U)^2 dt \right) - \frac{1}{U_t^2} \sigma_t^S \sigma_t^U dt + o(dt) \\ &= \left[ \frac{1}{U_t} \mu_t^S - \frac{S_t}{U_t^2} \mu_t^U + \frac{S_t}{U_t^3} (\sigma_t^U)^2 - \frac{1}{U_t^2} \sigma_t^S \sigma_t^U \right] dt + \left[ \frac{1}{U_t} \sigma_t^S - \frac{S_t}{U_t^2} \sigma_t^U \right] dW_t^U + o(dt) \end{align*} Dado que $S_t/U_t$ es un martingala bajo $U$, debe ser que la tasa de derivación es cero. Al comparar con la primera ecuación se puede ver el resultado.

Nota: En la derivación anterior he asumido que el movimiento browniano es unidimensional, por lo que $C=1$. Esto simplifica la notación, pero no afecta la derivación.