Suponga que mi cartera tiene un valor de mercado actual de $V_0$, que los rendimientos diarios son independientes e idénticamente distribuidos como una distribución normal $N(0, \sigma^2)$ y que hay $N$ días de negociación en un año. Además, sea $\Phi$ la función de distribución acumulada de la distribución normal estándar.
La fórmula de reescalamiento del Valor en Riesgo dice que $$\text{VaR}_{\alpha,N}=\text{VaR}_{\alpha,1}\times\sqrt{N}=V_0\times\Phi^{-1}(\alpha)\times\sigma\times\sqrt{N}$$
Ahora, sea $V$ el valor de la cartera después del período de $N$ días. Es claro que $$V=V_0\times\prod_{i=1}^{N}(1+R_i)$$ $$\log(V)=\log(V_0)+\sum_{i=1}^{N}\log(1+R_i)$$ y, mediante la expansión de Taylor de $\log(1+x)$ obtenemos que $$\log(V)=\log(V_0)+\sum_{i=1}^{N}R_i$$ más términos pequeños. Aplicando el teorema del límite central obtenemos que $$\log(V)\sim N\left(\log(V_0),N\sigma^2\right)$$ y por lo tanto $\text{VaR}_{\alpha,N}$ es el número $x$ tal que $$\mathbf{P}(V\le x)=\alpha$$ Pero $$\mathbf{P}(V\le x)=\mathbf{P}(\log(V)\le \log(x))=\Phi\left(\frac{\log(x)-\log(V_0)}{\sqrt{N}\sigma}\right)$$ y por lo tanto $$\text{VaR}_{\alpha,N}=x=\exp(\log(V_0)+\sqrt{N}\sigma\Phi^{-1}(\alpha))=V_0\exp(\sqrt{N}\sigma\Phi^{-1}(\alpha))$$ lo cual es ciertamente diferente de la fórmula habitual.
Pregunta: ¿por qué las dos fórmulas son diferentes? ¿Qué me estoy perdiendo? ¿La diferencia se debe únicamente a la aproximación $\log(1+x)\approx x$?
¡Gracias de antemano!
