Comprendiendo el ajuste de VaR

Question

Suponga que mi cartera tiene un valor de mercado actual de $V_0$, que los rendimientos diarios son independientes e idénticamente distribuidos como una distribución normal $N(0, \sigma^2)$ y que hay $N$ días de negociación en un año. Además, sea $\Phi$ la función de distribución acumulada de la distribución normal estándar.

La fórmula de reescalamiento del Valor en Riesgo dice que $$\text{VaR}_{\alpha,N}=\text{VaR}_{\alpha,1}\times\sqrt{N}=V_0\times\Phi^{-1}(\alpha)\times\sigma\times\sqrt{N}$$

Ahora, sea $V$ el valor de la cartera después del período de $N$ días. Es claro que $$V=V_0\times\prod_{i=1}^{N}(1+R_i)$$ $$\log(V)=\log(V_0)+\sum_{i=1}^{N}\log(1+R_i)$$ y, mediante la expansión de Taylor de $\log(1+x)$ obtenemos que $$\log(V)=\log(V_0)+\sum_{i=1}^{N}R_i$$ más términos pequeños. Aplicando el teorema del límite central obtenemos que $$\log(V)\sim N\left(\log(V_0),N\sigma^2\right)$$ y por lo tanto $\text{VaR}_{\alpha,N}$ es el número $x$ tal que $$\mathbf{P}(V\le x)=\alpha$$ Pero $$\mathbf{P}(V\le x)=\mathbf{P}(\log(V)\le \log(x))=\Phi\left(\frac{\log(x)-\log(V_0)}{\sqrt{N}\sigma}\right)$$ y por lo tanto $$\text{VaR}_{\alpha,N}=x=\exp(\log(V_0)+\sqrt{N}\sigma\Phi^{-1}(\alpha))=V_0\exp(\sqrt{N}\sigma\Phi^{-1}(\alpha))$$ lo cual es ciertamente diferente de la fórmula habitual.

Pregunta: ¿por qué las dos fórmulas son diferentes? ¿Qué me estoy perdiendo? ¿La diferencia se debe únicamente a la aproximación $\log(1+x)\approx x$?

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Revisé tu prueba y parece estar mayormente bien, pero hay 2 cosas:

La fórmula de escala para el VaR es dada por (escribiste un extra $\sigma$) y yo uso $Z$ en lugar de $\Phi^{-1}(\alpha)$:

$$VaR_{\alpha,T} = VaR_{\alpha,1} * \sqrt{T} = V_0 * \sigma * Z * \sqrt{T}$$

y tu fórmula final también faltaba un $\sigma$:

$$VaR_{\alpha,T} = x = \exp(\ln(V_0) + \sqrt{T}\sigma\Phi^{-1}(\alpha)) = V_0\exp(\sqrt{T}\sigma\Phi^{-1}(\alpha))$$

Siento que donde empezaron los problemas fue en tu formulación del VaR (la definición está incorrecta). El VaR se define como la pérdida de una cartera en un horizonte temporal y no como el valor de la cartera.

Por lo tanto, la función de probabilidad debería ser escrita como (uso $X$ en lugar de $x$):

$$P(V_0 - V \le X) = \alpha \rightarrow P(V \le V_0 - X) = 1 - \alpha$$

Entonces podemos obtener:

$$1 - \alpha = \Phi(\frac{\ln(V_0 - X) - \ln(V_0)}{\sqrt{T}\sigma}) \rightarrow -Z = \frac{\ln(V_0 - X) - \ln(V_0)}{\sqrt{T}\sigma}$$

Si hacemos el VaR $X$ el sujeto de la ecuación:

$$X = V_0 (1 - \exp(-Z\sigma\sqrt{T}))$$

Aplicando la serie de Taylor $\exp(-x) \approx 1 - x$ (y ignorando términos superiores):

$$X \approx V_0(1 - (1 - Z\sigma\sqrt{T})) = V_0Z\sigma\sqrt{T}\;(demostrado)$$

Por favor déjame saber si esto te ayuda.