Encontrar el equilibrio de Nash de estrategia mixta en este juego

Question

Encuentra el equilibrio de Nash de estrategia pura y mixta en este juego:

\begin{array}{c|cccc} P_1 \text{/} P_2 & \text{Ll} & \text{Lr} & \text{Rl} & \text{Rr} \\ \hline \text{T} & (3,2) & (3,2) & (1,1) & (1,1) \\ \text{B} & (4,3) & (2,4) & (4,3) & (2,4) \\ \end{array}

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Usando la definición de equilibrio de Nash de estrategia pura, encontré estos dos equilibrios de Nash:

\begin{equation} \text{Equilibrio de N.E. de estrategia pura} = \begin{cases} ([T],[Lr]) \\ ([B],[Rr]) \end{cases} \end{equation}

Para los equilibrios de Nash de estrategia mixta, parece que la respuesta es:

\begin{equation} \text{Equilibrio de N.E. de estrategia mixta} = \begin{cases} ([T], q[Ll] + (1-q)[Lr]) & \text{si } q < \frac{1}{2} \\ ([B], q[Lr] + (1-q)[Rr]) & \text{si } q < \frac{1}{2} \end{cases} \end{equation}

¿Cómo se derivarían los dos equilibrios de Nash de estrategia mixta?

Answer 1

Primero, ten en cuenta que hay mucho dominio débil: $$Lr \succeq Ll, ~ Lr \succeq Rl, ~ Rr \succeq Rl, Ll \succeq Rl.$$

Consecuentemente, $\nexists$ ENE en el cual ambos jugadores mezclen al mismo tiempo. Si $P_1$ mezcla, entonces $P_2$ preferiría jugar una estrategia pura.

Considera entonces, como sugiere la respuesta, un equilibrio candidato en el cual $P_1$ juega una estrategia pura, mientras que $P_2$ mezcla.

Si $P_1$ juega $T$, entonces $P_2$ es indiferente entre $Ll$ y $Lr$.

$\implies$ $P_1 \to T, ~P_2 \to q(Ll) + (1 - q)Lr$.
$P_2$ es indiferente por construcción, así que simplemente necesitamos mostrar que $P_1$ prefiere $T$ a $B$: $$\begin{align} 3 & \geq 4q + 2(1 - q) \\ & \geq 2 + 2q \\ 1 &\geq 2q \implies 1/2 \geq q \end{align}$$

De igual manera, si $P_1 \to T$, entonces debe ser que $P_2 \to q(Lr) + (1-q)Rr$. Nuevamente, solo necesitamos mostrar que $P_1$ prefiere $B$ a $T$: $$\begin{align} 2 & \geq 3q + 1(1 - q) \\ 1/2 & \geq q \end{align}$$

Esto describe completamente el Equilibrio de Nash.