Balland - SABR va normal

Question

Estoy leyendo el artículo de Balland SABR goes normal y no entiendo su derivación para el proceso tipo Lamperti transform.

Su notación para un modelo LSV general con volatilidad estocástica lognormal es $$ \begin{cases} d S_t = \sigma_t \varphi \left(S_t\right) dW_t^1 \\ d \sigma_t = \gamma \sigma_t dW_t^2 \\ \langle W^1, W^2\rangle_t = \rho t \end{cases} $$ Introduciendo el proceso $J$ como $$ J_t \equiv J\left(S_t, \sigma_t\right), \quad J \left(x, y\right) := \frac{1}{y} \int_K^x{\frac{\mathrm{d}u}{\varphi \left(u\right)}} $$ Calculamos las derivadas parciales \begin{align} \partial_x J & = \frac{1}{y \varphi \left(x\right)} \\ \partial_{xx}^2 J & = - \frac{\dot{\varphi \left(x\right)}}{y \varphi \left(x\right)^2} \\ \partial_y J & = - \frac{J}{y} \\ \partial_{yy}^2 J & = \frac{2 J}{y^2} \\ \partial_{xy}^2 J & = - \frac{1}{y^2 \varphi \left(x\right)} \end{align} para aplicar la fórmula de Ito. \begin{align} dJ_t & = \frac{d S_t}{\sigma_t \varphi \left(S_t\right)} - J_t \frac{d \sigma_t}{\sigma_t} + \frac{1}{2} \left[\frac{2 J_t}{\sigma_t^2} d \langle \sigma \rangle_t - \frac{\dot{\varphi} \left(S_t\right)}{\sigma_t \varphi \left(S_t\right)^2} d \langle S \rangle_t - 2 \frac{d \langle S, \sigma \rangle_t}{\sigma_t^2 \varphi \left(S_t\right)} \right] \\ & = dW_t^1 - \gamma J_t dW_t^2 + \left[\gamma^2 J_t - \rho \gamma - \frac{1}{2} \sigma_t \dot{\varphi} \left(S_t\right) \right] dt \\ & = q \left(J_t\right)^{\frac{1}{2}} d \bar{W}_t + \left[\gamma^2 J_t - \rho \gamma - \frac{1}{2} \sigma_t \dot{\varphi} \left(S_t\right) \right] dt \end{align}

El $q\left(J_t\right)$ viene de reorganizar el término Browniano como una única fuente de ruido, ya que una combinación lineal de movimiento Browniano también es (localmente) Gaussiana centrada. $$ \text{Var} \left(dW_t^1 - \gamma J_t dW_t^2\right) = \left[dt + \gamma^2 J_t^2 - 2 \rho \gamma J_t \right] =: q \left(J_t\right) $$

Pero la parte donde desaparece la mayor parte de la deriva usando el cambio de probabilidad $\frac{d \hat{Q}}{dQ} = e^{\gamma W_t^2 - \frac{1}{2} \gamma^2 t}$ es lo que me bloquea. Bajo $\hat{Q}$, $\hat{W}_\cdot = W_\cdot - \gamma \cdot$ es un movimiento Browniano. Por lo tanto, el término $\gamma^2 J_t$ en la deriva desaparece con el cambio de medida. Pero ¿qué pasa con el término $\rho \gamma$? Supongo que esto es alguna covariación con el término $W^1$ que me perdí, pero no puedo ver cuál.

¿Alguna idea?

Answer 1

Encontrado por la reescritura del modelo con un movimiento Browniano 2-dimensional (es decir, vector de componentes Brownianos independientes) $$ \begin{cases} d S_t = \sigma_t \varphi \left(S_t\right) d \tilde{W}_t^1 \\ d \sigma_t = \gamma \sigma_t \left(\rho \, d \tilde{W}_t^1 + \sqrt{1 - \rho^2} \, d \tilde{W}_t^2\right) \end{cases} $$

El cambio de medida se realiza mediante $$ \frac{\mathrm{d} \hat{Q}}{\mathrm{d} Q} = e^{\lambda \tilde{W}_t - \frac{1}{2} \lVert \lambda \rVert^2 t}, \quad \lambda = \begin{pmatrix} \rho \gamma \\ \sqrt{1 - \rho^2} \gamma \end{pmatrix} $$ y el nuevo vector de movimientos Brownianos independientes bajo $\hat{Q}$ es dado por $$ \hat{W}_\cdot = \tilde{W}_\cdot - \lambda \cdot \equiv \begin{pmatrix} \tilde{W}_\cdot^1 - \rho \gamma \cdot \\ \tilde{W}_\cdot^2 - \sqrt{1 - \rho^2} \gamma \cdot

La segunda línea del proceso $dJ_t$ escribe: \begin{align} dJ_t & = \left(1 - \rho \gamma J_t\right) d \tilde{W}_t^1 - \sqrt{1 - \rho^2} \gamma J_t d\tilde{W}_t^2 + \left[\gamma^2 J_t - \rho \gamma - \frac{1}{2} \sigma_t \dot{\varphi} \left(S_t\right) \right] dt \\ & = \left(1 - \rho \gamma J_t\right) \left(d \hat{W}_t^1 + \rho \gamma \, dt \right) - \sqrt{1 - \rho^2} \gamma J_t \left(d \hat{W}_t^2 + \sqrt{1 - \rho^2} \gamma \, dt \right) + \left[\gamma^2 J_t - \rho \gamma - \frac{1}{2} \sigma_t \dot{\varphi} \left(S_t\right) \right] dt \\ & = d \hat{W}_t^1 + \rho \gamma dt - \rho \gamma J_t d \hat{W}_t^1 - \rho^2 \gamma^2 J_t dt - \sqrt{1 - \rho^2} \gamma J_t d \hat{W}_t^2 - \left(1 - \rho^2 \right) \gamma^2 J_t \, dt + \left[\gamma^2 J_t - \rho \gamma - \frac{1}{2} \sigma_t \dot{\varphi} \left(S_t\right) \right] dt \\ & = d \hat{W}_t^1 - \rho \gamma J_t d \hat{W}_t^1 - \sqrt{1 - \rho^2} \gamma J_t d \hat{W}_t^2 - \frac{1}{2} \sigma_t \dot{\varphi} \left(S_t\right) dt

La parte de martingala local es instantáneamente Gaussiana centrada con varianza $$ \left[\left(1 - \rho \gamma J_t\right)^2 + \left(1 - \rho^2\right) \gamma^2 J_t^2\right] dt = \left(1 + \gamma^2 J_t^2 - 2 \rho \gamma J_t\right) \, dt = q \left(J_t\right) \, dt por lo tanto, la reescritura con un solo movimiento Browniano $\hat{Q}$ $\hat{U}$. $$ dJ_t = q \left(J_t\right)^{\frac{1}{2}} \, d\hat{U}_t - \frac{1}{2} \sigma_t \dot{\varphi} \left(S_t\right) dt

Si alguien está interesado en derivar el resultado correcto mientras usa mis movimientos Brownianos correlacionados iniciales (por lo tanto, proporcionando una ayuda para aplicar Girsanov correctamente en movimiento Browniano correlacionado), ¡encantado de otorgarles la recompensa en esa pregunta!