En un modelo de ciudad circular a la Salop, los consumidores tienen un costo de transporte lineal t por cada unidad que tienen que viajar. La longitud del círculo completo se normaliza a 1. Dos empresas están activas en el mercado, no tienen costo de producción y están ubicadas en 0 y ½ y establecen precios. El nivel de precios de equilibrio se puede calcular fácilmente y, si no me equivoco, será igual a 1. Sin embargo, también se hacen las siguientes preguntas: Supongamos entonces que una tercera empresa está considerando entrar. La Empresa 1 y 2 no pueden cambiar sus ubicaciones y la empresa 3 piensa en ingresar en ¼. Hay un costo fijo f de entrada. b. Si se produce la entrada, ¿cuáles son los precios de equilibrio en el mercado? ¿Qué empresa cobra el precio de mercado más bajo y proporciona una explicación económica para ese resultado? (Sugerencia: tenga en cuenta que la empresa 1 y 2 siguen siendo simétricas entre sí, pero la empresa 3 no lo es). No estoy seguro de cómo resolverlo, ya que nunca he visto un modelo lineal de Salop con empresas asimétricas c. ¿Para qué nivel de costo fijo f una tercera empresa no querría ingresar al mercado?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Su respuesta para el caso de dos empresas está equivocada, ya que la expresión para los precios de equilibrio debe involucrar $t$. (¿O tal vez ha establecido $t$ en algún valor en su respuesta?)
Para el caso de tres empresas, suponga que la empresa $1$ está ubicada en $0$ (o $1$) y que la empresa $2$ está ubicada en $1/2$. Deje que $x_{12}\in(1/2,1)$, $x_{13}\in(0,1/4)$ y $x_{23}\in(1/4,1/2)$ representen las ubicaciones de los consumidores indiferentes entre la empresa $1$ y la empresa $2$, entre la empresa $1$ y la empresa $3$, y entre la empresa $2$ y la empresa $3$.
[Si hay un equilibrio de Nash en estrategias puras en los precios (añadido en la edición después del comentario de Giskard), entonces todos deben existir: Si no, entonces al menos una empresa no tendría demanda y podría hacerlo mejor bajando su precio, o una empresa está fijando el precio por debajo de cero y podría hacerlo mejor aumentando su precio.]
Tenemos: $$\begin{align*} t(1-x_{12})+p_1&=t(x_{12}-1/2)+p_2\\ tx_{13}+p_1&=t(1/4-x_{13})+p_3\\ t(1/2-x_{23})+p_2&=t(x_{13}-1/4)+p_3\\ \end{align*}$$
Por lo tanto:
$$\begin{align*} x_{12}&=\frac{3}{4}+\frac{p_1-p_2}{2t}\\ x_{13}&=\frac{1}{8}+\frac{p_3-p_1}{2t}\\ x_{23}&=\frac{3}{8}+\frac{p_2-p_3}{2t} \end{align*}$$
Las ganancias de cada empresa son:
$$\begin{align*} \pi_1(p)&=p_1(1-x_{12}+x_{13})\\ \pi_2(p)&=p_2(x_{12}-x_{23})\\ \pi_3(p)&=p_3(x_{23}-x_{13}) \end{align*}$$
y
$$\begin{align*} \frac{\partial \pi_1}{\partial p_1}&=(1-x_{12}+x_{13})-\frac{p_1}{t}=\frac{3}{8}+\frac{p_2+p_3-4p_1}{2t}\\ \frac{\partial \pi_2}{\partial p_2}&=(x_{12}-x_{23})-\frac{p_2}{t}=\frac{3}{8}+\frac{p_1+p_3-4p_2}{2t}\\ \frac{\partial \pi_3}{\partial p_3}&=(x_{23}-x_{13})-\frac{p_3}{t}=\frac{1}{4}+\frac{p_1+p_2-4p_3}{2t} \end{align*}$$
Al igualar cada ecuación a cero y resolver se obtiene que $p_1^*=p_2^*=7t/20$ y $p_3^*=3t/10$. En equilibrio tenemos que $x_{12}^*=3/4$, $x_{13}^*=1/10$, $x_{23}^*=2/5$ y las ganancias son:
$$\begin{align*} \pi_1^*=\pi_2^*&=\frac{49t}{400}\\ \pi_3^*&=\frac{9t}{100} \end{align*}$$
Este no es el equilibrio de Nash por la razón señalada por Giskard en el primer comentario, por lo que parece que no hay un equilibrio de Nash en estrategias puras.
El resto de esta respuesta se basa en la solución incorrecta anterior.
La empresa $3$ fija precios más bajos que las empresas $1$ y $2$. La intuición es que las empresas $1$ y $2$ enfrentan menos competencia de precios entre sí que con la empresa $3$ porque $1$ y $2$ están más separadas entre sí (distancia $1/2$) que con $3$ (distancia $1/4$). La empresa $3$ enfrenta el mismo nivel de competencia de precios con las empresas $1$ y $2$, ya que está más cerca de ambas (a una distancia de $1/4$ de ambas).
Matemáticamente, observe que para cualquier empresa $i$, la ganancia/ingreso es
$$\pi_i(p)=p_iD_i(p)$$
donde $D_i$ es la función de demanda de la empresa $i$. La ganancia marginal para la empresa $i$ es
$$\frac{\partial \pi_i}{\partial p_i}=D_i(p)+p_i\frac{\partial D_i}{\partial p_i}\tag{1}$$
Cada empresa tiene $\partial D_i/\partial p_i=-1/t$. Si todas las empresas tuvieran el mismo precio, entonces:
- El segundo término en $(1)$ sería el mismo para todas las empresas, es decir, un aumento marginal en el precio causaría la misma reducción marginal en los ingresos (a través de la reducción en la demanda).
- El primer término (la cantidad demandada) en $(1)$ sería mayor ($3/8$) para las empresas $1$ y $2$ que para la empresa $3$ ($1/4$). (Por eso las empresas $1$ y $2$ enfrentan una competencia de precios menos feroz: están compitiendo por más consumidores.)
- Esto no puede ser un equilibrio. Las empresas $1$ y $2$ tendrían una ganancia marginal que es mayor que la de la empresa $3$ y por lo tanto, las empresas $1$ y $2$ querrían aumentar su precio o la empresa $3$ querría reducir su precio.
Para la última parte, cualquier costo fijo $f>\pi^*_3=9t/100$.
