Ejercicio de sistema dinámico lineal no homogéneo

Question

Tengo el siguiente sistema de ecuaciones:

\begin{align*} x_{t+1} & = 3x_t + y_t \\ \\ y_{t+1} & = 2 + 5y_t. \end{align*}

Sé cómo resolverlo cuando no tengo una constante, pero no pude escribirlo en forma matricial. ¿Cuál es el método para este tipo de sistema para encontrar el equilibrio a largo plazo de este sistema? ¿Y cómo puedo comentar si el equilibrio es único o si hay múltiples equilibrios? Cualquier ayuda es apreciada de antemano.

Answer 1

Hola: Usando el operador de rezago, L, para $y_t$, puedes escribir $y_{t+1}(1- 5L) = 2 \longrightarrow y_{t+1} = \frac{2}{(1-5L)}$. Pero no puedes escribir eso en una serie infinita porque la cosa que multiplica al L es mayor que 1. Por lo tanto, esto implica que no hay un equilibrio para $y_t$. En la literatura de series temporales discretas, se le llama proceso explosivo. Piensa en el modelo para $y_{t}$ como un AR(1) donde el coeficiente rezagado, 5, implica la no estacionariedad de $y_{t}$.

Además, si no estás familiarizado con series temporales discretas, revisa Box-Jenkins o Hamilton. Box Jenkins es mejor para una introducción.

Dado que, $y_t$ no tiene un equilibrio, esto implica que $x_t$ tampoco tiene uno.

================================================================= ADICIÓN: 18-12-2023 #==================================================================

Giskard señaló que hay un punto de equilibrio, por lo que el comportamiento realmente depende de cómo se define el equilibrio. Consulta los comentarios de Giskard debajo de la respuesta para más detalles. De lo contrario, la respuesta anterior está incompleta.

Answer 2

Preambulo

1. Esta respuesta no proporciona una solución paso a paso al ejercicio anterior. Muestra cómo si puedes resolver un sistema dinámico lineal sin las constantes (un sistema dinámico lineal homogéneo), entonces generalmente puedes resolver el que incluye las constantes también.

2. Usaré el símbolo $\triangleq$ para definir cosas. También escribiré las ecuaciones dinámicas de tiempo discreto en su forma de 'diferencia', es decir, en lugar de $$ x_{t+1} = f(x_t) $$ Escribiré $$ \Delta x_t = g(x_t), $$ donde $$ \Delta x_t \triangleq x_{t+1} - x_t. $$

3. Usaré una notación de matriz algo no convencional, simplemente usaré letras mayúsculas para matrices, no las pondré en negrita ni en cursiva. De manera similar, simplemente subrayaré las variables vectoriales.

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Forma Matricial

Supongamos que tenemos un sistema dinámico que es lineal pero no homogéneo (el punto de origen no es un equilibrio): \begin{align*} \Delta x_t & = a_{11} x_t + a_{12} y_t + b_1 \\ \Delta y_t & = a_{21} x_t + a_{22} y_t + b_2. \end{align*} Si definimos la variable (vector) $\underline{x}_t$ para todos los períodos de tiempo $t$ como \begin{align*} \underline{x}_t & \triangleq \begin{bmatrix}{x_t \\ y_t} \end{bmatrix} \end{align*} podemos escribir el sistema dinámico anterior en forma matricial: \begin{align*} \Delta \underline{x}_t & = A \underline{x}_t + \underline{b}, \end{align*}

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Desplazando/homogenizando el sistema

Es posible 'homogeneizar' el sistema de ecuaciones lineales anterior, redefinir las variables de tal manera que $\underline{b}$ desaparezca.

Para simplificar, asumamos que $A$ es invertible. Definamos una nueva variable (vector) $\underline{z}_t$ para todos los períodos de tiempo $t$ como \begin{align*} \underline{z}_t & \triangleq \underline{x}_t + A^{-1}\underline{b}. \end{align*} Para $t+1$ esto es \begin{align*} \underline{z}_{t+1} & = \underline{x}_{t+1} + A^{-1}\underline{b}. \end{align*} Tomando la diferencia de las dos ecuaciones anteriores: \begin{align*} \underline{z}_{t+1} - \underline{z}_t & = (\underline{x}_{t+1} + A^{-1}\underline{b}) - (\underline{x}_t + A^{-1}\underline{b}) \\ \\ \Delta \underline{z}_t & = \Delta \underline{x}_t \end{align*} El cambio en $\underline{z}_t$ es igual al cambio en $\underline{x}_t$; al crear $\underline{z}$ simplemente estamos desplazando $\underline{x}$. Por lo tanto, si podemos encontrar los valores de equilibrio para $\underline{z}$, también encontraremos los valores de equilibrio para $\underline{x}$. Primero obtengamos el sistema dinámico para $\underline{z}$:
\begin{align*} \Delta \underline{z}_t & = A \underline{x}_t + \underline{b} \\ \\ \Delta \underline{z}_t & = A(\underline{x}_t + A^{-1}\underline{b}) = A \underline{z}_t. \end{align*} Este es un sistema dinámico lineal homogéneo. En equilibrio no hay cambio en la variable, por lo que \begin{align*} \Delta \underline{z}^* & = \underline{0} \\ \\ A \underline{z}^* & = \underline{0} \\ \\ \underline{z}^* & = A^{-1}\underline{0} = \underline{0}. \end{align*} Hemos encontrado el único equilibrio. (Dependimos en gran medida de que $A$ sea invertible.) El valor correspondiente de $\underline{x}_t$ es \begin{align*} \underline{x}^* & = \underline{z}^* - A^{-1}\underline{b} \\ & = 0 - A^{-1}\underline{b}. \end{align*}

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Estabilidad

No hemos discutido la estabilidad del equilibrio en ninguno de los sistemas. La operación de desplazamiento que realizamos anteriormente no cambia la distancia, lo que significa que para dos estados $\underline{x}$ y sus estados correspondientes $\underline{z}$, la distancia es la misma entre los dos pares de estados. Específicamente: $$ d(\underline{x}^*,\underline{x}_t) = d(\underline{z}^*,\underline{z}_t). $$ Una ilustración 2D del concepto:

Dado que las definiciones de estabilidad (global, local, asintótica, etc.) dependen de cómo evoluciona la distancia de la trayectoria desde el equilibrio, y estas son las mismas en los dos sistemas, la estabilidad de los equilibrios también será la misma.