Esta respuesta muestra convergencia asintótica al origen/equilibrio si la matriz de coeficientes en el sistema lineal homogéneo es diagonalizable. (Tiempo continuo.)
Notación Utilizaré la notación $\triangleq$ al introducir nuevas variables.
Usualmente no especificaré la variable de tiempo para las trayectorias, por ejemplo, escribiré $x$ en lugar de $x(t)$.
Usaré el operador con punto arriba para denotar la diferenciación respecto al tiempo, por ejemplo, $$\dot{x} = \frac{\text{d}x}{\text{d}t}$$
Lema 1 El sistema dinámico $$ \dot{x} = \lambda x $$ tiene una solución de la forma $$ x(t) = x_0e^{\lambda t}, $$ donde $x_0$ es el valor inicial de $x$.
Prueba Tomemos la derivada temporal de $x e^{-\lambda t}$: $$ \frac{\text{d}(x e^{-\lambda t})}{\text{d}t} = \dot{x} e^{-\lambda t} + x(-\lambda) e^{-\lambda t} = \lambda x e^{-\lambda t} + x(-\lambda) e^{-\lambda t} = 0. $$ Esto significa que $x e^{-\lambda t}$ fue constante respecto al tiempo, $x e^{-\lambda t} = c$, por lo tanto $x = c e^{\lambda t}$. Combinando esto con la condición de valor inicial obtenemos $x_0 = c e^{\lambda 0} = c$. $\blacksquare$
Corolario Supongamos que el sistema dinámico lineal $$ \dot{\mathbf{x}} = \mathbf{D} \mathbf{x} $$ es tal que $\mathbf{D}$ es diagonal, con autovalores $\lambda_1,...\lambda_n$. Entonces el sistema tiene una solución de la forma $$ \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_{10} e^{\lambda_1 t} \\ \vdots \\ x_{n0} e^{\lambda_n t} \end{bmatrix} $$ donde $x_{i0}$ son los valores iniciales de $\mathbf{x}$ en la dimensión $i$.
El próximo lema solo coverge matrices diagonalizables. Una matriz genérica es diagonalizable, pero algunas matrices no lo son. Un resultado muy similar se cumple, pero la prueba es más complicada. Primero necesitamos introducir alguna notación.
Sea $\mathbf{M}$ una matriz diagonalizable, con autovalores $\lambda_1,...\lambda_n$. Vamos a denotar la matriz con estos valores en la diagonal principal y ceros en todas partes más como $\mathbf{D}$, es decir, $$ \mathbf{D} \triangleq \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \ddots & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & 0 \\ 0 & \dots & 0 & \lambda_n \end{bmatrix} $$ Vamos a denotar los auto vectores de $\mathbf{M}$ por $\mathbf{v_1}$, ... $\mathbf{v_n}$.
Vamos a denotar la matriz que obtenemos al escribir los auto vectores uno al lado del otro como vectores columna como $\mathbf{B}$, es decir, $$ \mathbf{B} \triangleq \begin{bmatrix} \mathbf{v_1} & \dots & \mathbf{v_n} \end{bmatrix}. $$
A partir de estas definiciones, tenemos $$ \mathbf{MB} = \begin{bmatrix} \lambda_1\mathbf{v_1} & \dots & \lambda_n\mathbf{v_n} \end{bmatrix} = \mathbf{BD}. $$ La inversa $\mathbf{B}^{-1}$ existe porque $\mathbf{M}$ es diagonalizable, así que también tenemos $$ \mathbf{B^{-1}MB} = \mathbf{D}. $$
Lema 2 Supongamos que el sistema dinámico lineal $$ \dot{\mathbf{x}} = \mathbf{M} \mathbf{x} $$ es tal que $\mathbf{M}$ es diagonalizable. Entonces el sistema tiene una solución de la forma $$ \mathbf{x} = \mathbf{B} \begin{bmatrix} c_1 e^{\lambda_1 t} \\ \vdots \\ c_2 e^{\lambda_n t} \end{bmatrix} $$ donde $c_i$ son constantes.
Prueba Introduzcamos una nueva variable vectorial $$ \mathbf{z} \triangleq \mathbf{B}^{-1} \mathbf{x}. $$ Dado que $\mathbf{B}^{-1}$ es un operador lineal $$ \dot{\mathbf{z}} = \mathbf{B}^{-1} \dot{\mathbf{x}} $$ También usaremos el hecho de que $$ \mathbf{B}\mathbf{z} = \mathbf{x}. $$ Estamos listos: $$ \begin{eqnarray*} \dot{\mathbf{x}} & = & \mathbf{M} \mathbf{x} \\ \\ \mathbf{B}^{-1}\dot{\mathbf{x}} & = & \mathbf{B}^{-1}\mathbf{M} \mathbf{x} \\ \\ \dot{\mathbf{z}} & = & \mathbf{B}^{-1}\mathbf{M} \mathbf{B}\mathbf{z} \\ \\ \dot{\mathbf{z}} & = & \mathbf{D}\mathbf{z} \end{eqnarray*} $$ Usando el corolario del Lema 1 sabemos que la forma de la trayectoria de $\mathbf{z}$ es $$ \mathbf{z} = \begin{bmatrix} z_{10} e^{\lambda_1 t} \\ \vdots \\ z_{n0} e^{\lambda_n t} \end{bmatrix} $$ y $\mathbf{x} = \mathbf{B}\mathbf{z}$. $\blacksquare$
¿Qué tiene que ver todo esto con la estabilidad asintótica global?
- Dado que el sistema es lineal y homogéneo, el punto de equilibrio es el origen.
- La trayectoria $$ \mathbf{z} = \begin{bmatrix} z_{10} e^{\lambda_1 t} \\ \vdots \\ z_{n0} e^{\lambda_n t} \end{bmatrix} $$ convergerá al origen si las partes reales de los autovalores son negativas. (No se muestra aquí que las partes imaginarias se 'cancelen' y esta es de hecho una trayectoria real. Para discusiones de este tipo, consulte a su álgebra lineal local).
- La matriz $\mathbf{B}$ tiene una norma finita (su mayor autovalor), así que $\mathbf{x} = \mathbf{B}\mathbf{z}$ también convergerá al origen. Si no está familiarizado con las normas de matriz, creo que también se puede utilizar que si $\mathbf{B}$ es un operador lineal en un espacio euclidiano de dimensión finita, entonces $$ \lim_{t \to \infty} \mathbf{B}\mathbf{z}(t) = \mathbf{B} \lim_{t \to \infty}\mathbf{z}(t). $$
Así, la trayectoria $\mathbf{x}$ también convergerá al origen, y nunca estará más lejos que $\max_i \lambda_i ||\mathbf{x_0}||$.
