MWG Ejercicio 2.E.5

Question

Ejercicio

Supongamos que $x(\mathbf{p},w)$ es una función de demanda que es homogénea de grado uno con respecto a $w$ y satisface la ley de Walras y la homogeneidad de grado cero. Supongamos también que todos los efectos cruzados de precio son cero, es decir, $\frac{\partial x_l(\mathbf{p},w)}{\partial p_k} = 0$ siempre que $k \neq l$. Demuestra que esto implica que para cada $l$, $x_l(\mathbf{p},w) = \frac{\alpha_lw}{p_l}$, donde $\alpha_l > 0$ es una constante independiente de $(\mathbf{p},w)$.

Mi intento

Así es como procedo. (Me quedé atascado al final y no pude mostrar que $\alpha_l$ es una constante independiente de $(\mathbf{p},w)$.)

Por Proposición 2.E.2, dado que todos los efectos cruzados de precio son cero, tenemos que \begin{align*} p_l\frac{\partial x_l(\mathbf{p},w)}{\partial p_l} + x_l(\mathbf{p},w) = 0,\ \text{para}\ l = 1,\dots,L. \end{align*} Por Proposición 2.E.1, de nuevo dado que todos los efectos cruzados de precio son cero, tenemos que \begin{align*} \frac{\partial x_l(\mathbf{p},w)}{\partial p_l}p_l + \frac{\partial x_l(\mathbf{p},w)}{\partial w}w = 0,\ \text{para}\ l = 1,\dots,L. \end{align*} Entonces, \begin{align*} x_l(\mathbf{p},w) = \frac{\partial x_l(\mathbf{p},w)}{\partial w}w, \end{align*} por lo que \begin{align*} x_l(\mathbf{p},w) = \frac{\partial x_l(\mathbf{p},w)}{\partial w}p_l \cdot \frac{w}{p_l} \end{align*} Sea $\alpha_l = \frac{\partial x_l(\mathbf{p},w)}{\partial w}p_l$

A partir de aquí, no sé cómo proceder. ¿Podría alguien ayudarme por favor? Si siguiéramos este método, ¿cómo demostrar que $\alpha_l$ es una constante independiente de $(\mathbf{p},w)$?

Respuesta del Manual de Soluciones

Busqué y encontré la siguiente respuesta en el Manual de Soluciones. Sin embargo, estoy confundido por algunos de sus pasos.

Dado que $x(\mathbf{p},w)$ es homogénea de grado uno con respecto a $w$, $x(\mathbf{p},\alpha w) = \alpha x(\mathbf{p},w)$ para cada $\alpha > 0$. Por lo tanto, $x_l(\mathbf{p},w) = wx_l(\mathbf{p},1)$. Dado que $\frac{\partial x_l(\mathbf{p},1)}{\partial p_k} = \frac{\partial\varphi_l(p)}{\partial p_k} = 0$ siempre que $k \neq l$, $x_l(\mathbf{p},1)$ es en realidad una función solo de $p_l$. Por lo tanto, podemos escribir $x_l(\mathbf{p},w) = x_l(p_l)$. Dado que $x(\mathbf{p},w)$ es homogénea de grado cero, $x_l(p_l)$ debe ser homogénea de grado $-1$ (en $p_l$). Por lo tanto, existe un $\alpha_l > 0$ tal que $x_l(p_l) = \frac{\alpha_l}{p_l}$. Por la ley de Walras, $\sum_{l}p_l\left(\frac{\alpha_l}{p_l}\right)w = w\sum_{l}\alpha_l = w$. Por lo tanto, debemos tener $\sum_l\alpha_l = 1$.

Empiezo a sentirme confundido después de que dijo que "$x_l(\mathbf{p},1)$ es en realidad una función solo de $p_l$.". Por ejemplo, no creo que podamos escribir $x_l(\mathbf{p},w) = x_l(p_l)$; no veo cómo $x_l(p_l)$ debe ser homogénea de grado $-1$ (en $p_l$); y la última oración sobre aplicar la ley de Walras definitivamente no es correcta. Aquí está mi comprensión de esta respuesta del Manual de Soluciones. Me gustaría saber si es correcta.

Dado que $x(\mathbf{p},w)$ es homogénea de grado uno con respecto a $w$, $x(\mathbf{p},\alpha w) = \alpha x(\mathbf{p},w)$ para cada $\alpha > 0$. Por lo tanto, $x_l(\mathbf{p},w) = wx_l(\mathbf{p},1)$. Dado que $\frac{\partial x_l(\mathbf{p},1)}{\partial p_k} = \frac{\partial\varphi_l(p)}{\partial p_k} = 0$ siempre que $k \neq l$, $x_l(\mathbf{p},1)$ es en realidad una función solo de $p_l$. Por lo tanto, podemos escribir $x_l(\mathbf{p},w) = x_l(p_l,w)$. Dado que $x(\mathbf{p},w)$ es homogénea de grado cero y es homogénea de grado uno con respecto a $w$, tenemos \begin{align*} x_l(\alpha p_l, w) &= x_l(p_1,\dots,\alpha p_l,\dots,p_L,w)\\ &= x_l\left(\alpha \cdot \left(\frac{1}{\alpha}p_1,\dots,p_l,\dots,\frac{1}{\alpha}p_L,\frac{1}{\alpha}w\right)\right)\\ &= x_l\left(\frac{1}{\alpha}p_1,\dots,p_l,\dots,\frac{1}{\alpha}p_L,\frac{1}{\alpha}w\right)\\ &= x_l\left(p_l,\frac{1}{\alpha}w\right)\\ &= \frac{1}{\alpha}x_l(p_l,w). \end{align*} Por lo tanto, $x_l(p_l,w)$ es homogénea de grado $-1$ con respecto a $p_l$. Por lo tanto, \begin{align*} x_l(\mathbf{p},w) &= x_l(p_1,\dots,p_l,\dots,p_L,w)\\ &= \frac{1}{p_l}x_l(p_1,\dots,1,\dots,p_L,w)\\ &= \frac{w}{p_l}x_l(p_1,\dots,1,\dots,p_L,1). \end{align*} Sea $\alpha_l = x_l(p_1,\dots,1,\dots,p_L,1)$. Dado que $x_l$ es independiente de $p_k$ para todo $k \neq l$, tenemos que $\alpha_l$ es una constante independiente de $(\mathbf{p},w)$.

Mis preguntas

Como mencioné anteriormente, tengo dos preguntas:

1. Si siguiéramos mi método (en la sección Mi Intento), ¿sería posible continuar para demostrar que $\frac{\partial x_l(\mathbf{p},w)}{\partial w}p_l$ es una constante independiente de $(\mathbf{p},w)$?
2. Siento que la respuesta en el Manual de Soluciones no es correcta, y proporcioné mi comprensión de su método. Me gustaría saber si mi comprensión de la respuesta del Manual de Soluciones es correcta o no.

¡Muchas gracias de antemano!

Answer 1

```html

Respuesta a 1.

$$ x_l(\mathbf{p},w) = \frac{\partial x_l(\mathbf{p},w)}{\partial w}p_l \cdot \frac{w}{p_l} $$ Sea $\alpha_l = \frac{\partial x_l(\mathbf{p},w)}{\partial w}p_l$.

Muy bien, ahora utiliza las propiedades de homogeneidad.

Respuesta a 2.

¿Podría estar equivocado el manual de soluciones? Una rápida pero no concluyente prueba:

Para una función de tipo Cobb-Douglas (donde los efectos de precio cruzado serán cero) $U(x_1,x_2) = x_1x_2$ las demandas marshallianas son $$ \begin{align*} x_1(p_1,p_2,w) & = \frac{1}{2} \frac{w}{p_1} \\ x_2(p_1,p_2,w) & = \frac{1}{2} \frac{w}{p_2}. \end{align*} $$ La función $x_1(p_1,p_2,w)$ de hecho

1. es homogénea de grado 0,
2. es homogénea de grado 1 respecto a $w$, es decir, $$ x_1(p_1,p_2,w) = w \cdot x_1(p_1,p_2,1), $$
3. no depende de $p_2$, podríamos escribir $$ x_1(p_1) \triangleq x_1(p_1,p_2,1). $$

Adicionalmente, es posible escribir $$ \begin{align*} x_1(p_1,p_2,w) & = w \cdot x_1(p_1) = w \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{p_1} \\ x_1(p_1,p_2,w) & = w \cdot x_2(p_2) = w \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{p_2}, \end{align*} $$ y entonces los alfas suman en efecto $1$. Aunque este fue solo un caso (y uno especial), el manual de soluciones podría estar correcto.

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La raíz del malentendido parece estar en esta línea:

Por ejemplo, no creo que podamos escribir $x_l(\mathbf{p},w) = x_l(p_l)$;

Tienes razón, eso no es posible; pero tampoco es la afirmación. La afirmación

$x_l(\mathbf{p},1)$ es en realidad una función solo de $p_l$.

no se refiere al rango general de la función $x_l$. Primero restringen $w$ a $1$, por lo tanto solo están observando los casos donde $x_l(\mathbf{p},1)$. Luego explican que debido a que no hay efectos de precio cruzado (se hacen suposiciones silenciosas sobre integrabilidad), los cambios en otros precios no afectan a $x_l(\mathbf{p},1)$.

Por ejemplo, al observar nuevamente $x_1(p_1,p_2,w)$ $$ x_1(p_1,20,w) - x_1(p_1,10,w) = \int_{p_2 = 10}^{20} \frac{\partial x_1(p_1,p_2,w)}{\partial p_2} \text{d} p_2 $$ y debido a la suposición de que no hay efectos de precio cruzado $$ \frac{\partial x_1(p_1,p_2,w)}{\partial p_2} = 0 $$ así que todo el valor es cero, $x_1(p_1,p_2,w)$ no se ve afectado por ningún cambio en $p_2$.

Entonces $x_l(\mathbf{p},w)$ es homogénea de grado 1 respecto a $w$, no se ve afectada por los precios $p_k$ donde $p_k \neq p_l$. También sabemos que la función general es homogénea de grado 0. Esto solo es posible si los cambios en $p_l$ contrarrestan los efectos de los cambios en $w$. Se muestra a través del cálculo del manual de soluciones que esto significa que $x_l(\mathbf{p},w)$ es homogénea de grado $-1$ respecto a $p_l$.

Para el caso de dos bienes, la ecuación es, esencialmente, $\forall \alpha>0$: $$ \begin{eqnarray*} x_1(p_1,p_2,w) & = & x_1(\alpha \cdot p_1,\alpha \cdot p_2, \alpha \cdot w) \tag{hom. de deg. 0} \\ \\ & = & \alpha \cdot x_1(\alpha \cdot p_1,\alpha \cdot p_2, w) \tag{hom. of deg. 1 respecto a $w$} \\ \\ & = & \alpha \cdot x_1(\alpha \cdot p_1, p_2, w) \tag{$p_2$ no tiene efecto} \\ \\ \alpha^{-1} \cdot x_1(p_1,p_2,w) & = & x_1(\alpha \cdot p_1, p_2, w) \tag{división por $\alpha$} \end{eqnarray*} $$ Esta es la definición de $x_1$ siendo homogénea de grado $-1$ respecto a $p_1$.

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