La suposición mínima de una "equivalencia de certeza" existe

Question

Sea $R$ el conjunto de números reales. Sea $N$ un conjunto infinito. Sea la utilidad $u:R^N\to R$. La función de utilidad es estrictamente monótona.

Mi pregunta es, ¿existe la equivalencia de certeza $CE$? ¿Necesitamos suposiciones adicionales?

Para $x\in R^N$, la definición de $CE$ es la siguiente: si $u(x)=u(c)$ donde $c\in R$, entonces $c=CE(x)$.

Nota que $c$ también significa acto constante por el abuso habitual de notaciones.

Una cosa de la que estoy seguro es que, si además asumimos que $u$ es continua en $R^N$, entonces la $CE$ sí existe. Mi pregunta es, ¿podemos debilitar la suposición? Por ejemplo, consideremos que $u$ es continua en $R$.

Answer 1

Supongo que $u: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ y no $u: \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}$ (como en la pregunta). De lo contrario, $u(c)$ para $c \in \mathbb{R}$ no tiene sentido.

tldr:

• si $u$ es continua, existe una equivalencia de certeza (si la utilidad media está bien definida)
• si $u$ es estrictamente monótona, entonces la equivalencia de certeza (si existe) debe ser única.

Sea $P(x)$ una distribución de probabilidad sobre $\mathbb{R}$. Entonces la utilidad esperada está dada por $$ \overline{u} = \int u(x) dP(x). $$ Supongamos que esté bien definido. Una equivalencia de certeza $c$ de la lotería satisface $u(c) = \overline{u}$.

Observa que al menos para algún $\underline{x} \in \mathbb{R}$ para el cual $u(\underline{x}) \le \overline{u}$. De lo contrario, para todo $x \in \mathbb{R}$, $u(x) > \overline{u}$ y $$ \overline{u} = \int u(x) d P(x) > \int \overline{u} d P(x) = \overline{u}, $$ una contradicción. De manera similar, se puede mostrar que hay un $\overline{x}$ tal que $u(\overline{x}) \ge \overline{u}$.

Define $$ f(t) = u((1-t)\underline{x} + t \overline{x}) - \overline{u}. $$ Entonces, si $u$ es continua, $f$ también es continua y tenemos que $f(0) \le 0$ y $f(1) \ge 0$. Por el teorema del valor intermedio, existe un $t^\ast \in [0,1]$ para el cual $f(t^\ast) = 0$. Entonces, $$ u(c) = \overline{u} $$ donde definimos $c = (1-t^\ast) \underline{x} + t^\ast \overline{x}$.

Esto muestra la existencia de la equivalencia de certeza. Hasta ahora, no hemos usado la estricta monotonía.

Luego, usando la estricta monotonía, se puede mostrar fácilmente que la equivalencia de certeza es única.

De lo contrario, hay al menos dos, digamos $c_1$ y $c_2$. Supongamos sin pérdida de generalidad que $c_1 < c_2$. Como son equivalencias de certeza, ambas deben satisfacer $u(c_1) = u(c_2) = \overline{u}$. Esto es imposible ya que $u(c_1) < u(c_2)$ por estricta monotonía.

Answer 2

Aquí hay un ejemplo que muestra que los equivalentes de certeza no necesariamente existen: Sea $f:\mathbb{R}\to (0,1)$ una biyección creciente. Sea $0<\alpha< f(1)-f(0)$. Defina $u:\mathbb{R}^\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ por $$u(x)=\alpha\sum 2^{-n} f(x_n)+\limsup_n f\big(n^{-1} x_n\big).$$ Esta función es estrictamente creciente. El segundo término es $f(0)$ para cada acto constante pero es $f(1)$ para el acto $x$ dado por $x_n=n$. Dado que el primer término siempre es menor que $\alpha$, $x$ no tiene un equivalente de certeza. La función de utilidad no es continua en la topología del producto, pero la restricción a actos constantes (o incluso a todos los actos acotados) es continua.

Una condición suficiente obvia para la existencia de un equivalente de certeza es que $u$ restringido a actos constantes sea continuo y ni esté acotado inferior ni superiormente. Entonces, todos los posibles valores de utilidad son tomados por actos constantes.