PRESUMO QUE POR "APUESTA JUSTA" $G$ NOS REFERIMOS A UNA APUESTA CUYO VALOR ESPERADO ES CERO, $E(G) = 0$.
LA AVERSIÓN AL RIESGO PUEDE EXPRESARSE MATEMÁTICAMENTE MOSTRANDO QUE LA FUNCIÓN DE UTILIDAD ES ESTRICTAMENTE CÓNCAVA, LO QUE, POR LA DESIGUALDAD DE JENSEN, IMPLICA $$U[E(G)] > E[U(G)]$$
DADA LA FUNCIÓN DE UTILIDAD EN NUESTRO CASO, ESTO SIGNIFICA QUE DEBEMOS MOSTRAR
$$U(0) > E[U(G)] \implies 0 > E[U(G)].$$
ASI QUE NECESITAMOS UNA FORMA DE MOSTRAR QUE, PARA LA FUNCIÓN DE UTILIDAD DADA, LA UTILIDAD ESPERADA DE CUALQUIER "APUESTA JUSTA" SERÁ NEGATIVA.
INTUITIVAMENTE, DEBERÍAMOS ESPERAR QUE, DADO QUE VEMOS QUE LOS RESULTADOS NEGATIVOS PESAN MÁS QUE LOS POSITIVOS (DEBIDO AL FACTOR MULTIPLICATIVO $2.5$ DE LO QUE SUCEDE A LA UTILIDAD CUANDO EL RESULTADO ES NEGATIVO).
¿CÓMO MOSTRARLO?
DEFINE LA APUESTA JUSTA PROPORCIONANDO UN CONJUNTO DE $m$ PAGOS $\{x^G_1,..., x^G_m\}$ Y UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD SOBRE ELLOS $P_G = \{p_1,...p_m\}$. PARA SER UNA APUESTA JUSTA DEBE CUMPLIRSE QUE
$$E(G) = \sum_{i=1}^n p_ix^G_i = 0.$$
ESCRIBE LA FUNCIÓN DE UTILIDAD USANDO LA FUNCIÓN INDICADORA
$$U(x) = [1-I\{x< 0\}]\cdot x + 2.5 \cdot I\{x< 0\})]\cdot x = x + 1.5\cdot I\{x< 0\})]\cdot x $$
ENTONCES $$E[U(G)] = \sum_{i=1}^m p_iu(x^G_i) = ...$$
ME IMAGINO QUE PUEDES SEGUIR A PARTIR DE AQUÍ.
