Demostrando que una función aditiva es sigma aditiva (Teoría de la medida)

Question

Estoy aquí para pedirte amablemente un cheque sobre la prueba de la siguiente afirmación:
Sea $\mathcal{A}$ un álgebra y $\mu : A \rightarrow [0,\infty]$ una función aditiva. Entonces $\mu$ es aditiva con respecto a $\sigma$ si para cualquier secuencia $\{A_n\} \subset \mathcal{A} $ tal que $A_n \uparrow A \in \mathcal{A}$ tenemos que $\mu(A_n) \uparrow \mu(A)$.

Prueba:
Dirección de $(\Rightarrow)$::
Supongamos que $\mu$ es aditiva con respecto a $\sigma$ tal que $\mu(\cup_{n = 1}^{\infty}A_n)$ = $\sum_{n = 1}^{\infty} \mu(A_n)$. Tomemos una secuencia arbitraria $\{A_n\} \subset \mathcal{A}$ tal que $A_n \uparrow A \in \mathcal{A}$. Por lo tanto, $\cup_{n = 1}^{\infty}A_n = A$ de modo que $\mu(\cup_{n = 1}^{\infty}A_n) = \mu(A)$. Reescribimos $\sum_{n = 1}^{\infty} \mu(A_n)$ como $lim_{N \rightarrow \infty}\sum_{n = 1}^{N} \mu(A_n)$ = $lim_{N \rightarrow \infty}\mu(\cup_{n = 1}^{N} A_n) \text{(por aditividad)} = lim_{N \rightarrow \infty} \mu(A_n) = \mu(A) \text{(por convergencia)}$.

Dirección de $(\Leftarrow)$::
Consideremos una secuencia $ {A_n} \subset \mathcal{F} $ tal que $A_n \uparrow A$, $A = \cup_{n = 1} ^ {\infty} A_n \in \mathcal{A}, \mu(A) = \mu(\cup_{n = 1}^{\infty} A_n) = lim_{N \rightarrow \infty} \mu(\cup_{n = 1}^{N} A_n)$. Necesitamos demostrar que $\mu(\cup_{n = 1} ^ {\infty} A_n) = \sum_{n = 1}^{\infty} \mu(A_n) $.

Dado que $A_n \uparrow A$, entonces $\cup A_n = A$. Por lo tanto, necesitamos demostrar que $\mu(A) = \sum_{n = 1}^{\infty} \mu(A_n) $ mostrando que es tanto $\geq, \leq$.
Pero sabemos que $\mu(A) = \mu(\cup_{n = 1} ^ {\infty} A_n) \leq \sum_{n = 1}^{\infty} \mu(A_n)$. Además, tomemos $B_n = A_n \backslash \cup_{j tal que $B_i \cap B_j = \emptyset \forall i \neq j$. Pero entonces, dado que $\{B_n\}$ son mutuamente disjuntos, tenemos que $\mu(\cup_{n = 1} ^ {\infty} B_n) = \sum_{n = 1} ^ {\infty} \mu(B_n)$. Ahora $B_n \subset A_n$ entonces $\sum_{n = 1} ^ {\infty} \mu(B_n) \leq \sum_{n = 1} ^ {\infty} \mu(A_n)$. Además, $\mu(\cup_{n = 1} ^ {\infty} B_n) =\mu(\cup_{n = 1} ^ {\infty} A_n)$. Por lo tanto, $\mu(A) = \mu(\cup_{n = 1} ^ {\infty} A_n) = \mu(\cup_{n = 1} ^ {\infty} B_n) = \sum_{n = 1} ^ {\infty} \mu(B_n) \leq \sum_{n = 1} ^ {\infty} \mu(A_n) $.

Answer 1

La aditividad de Sigma requiere que si tienes una colección contable $(B_i)_{i \ge 0}$ de conjuntos mutuamente disjuntos ($B_i \cap B_j = \emptyset$ para $i \ne j$) entonces: $$ \sum_{i \ge 0} \mu(B_i) = \mu(\cup_{i \ge 0} B_i). $$

Los conjuntos $A_i$ están anidados, por lo tanto no son mutuamente disjuntos. Para la demostración, la idea es construir a partir de estos una colección de conjuntos mutuamente disjuntos cuya unión es igual a la unión de los $A_i$.

($\to$) Sea $\mu$ aditiva $\sigma$. Sea $(A_i)_{i \in \mathbb{N}}$ una colección contable de conjuntos anidados tal que $A_i \uparrow A$.

Defina iterativamente $B_0 = A_0$ y: $$ B_n = A_n \setminus A_{n-1}. $$ Note que $(B_i)_{i \in \mathbb{N}}$ son mutuamente disjuntos y que para todo $n$, $\cup_{i = 1}^n B_i = A_n$. Además $\cup_{i \ge 0} B_i = \cup_{i \ge 0} A_i = A$.

De la aditividad $\sigma$, tenemos: $$ \begin{align*} \mu(A) &= \mu(\cup_{i \ge 0} A_i),\\ & = \mu(\cup_{i \ge 0} B_i),\\ & = \sum_{i = 0}^\infty \mu(B_i),\\ & = \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 0}^n \mu(B_i),\\ & = \lim_{n \to \infty} \mu(A_n). \end{align*} $$

$(\leftarrow)$. Sea $(B_i)_{i \ge 0}$ una colección contable de conjuntos medibles mutuamente disjuntos. Defina para todo $n \ge 0$, $A_n = \cup_{0 \le i \le n} B_i$. Note que $A \equiv \cup_{i \ge 0} A_i = \cup_{i \ge 0} B_i$ y que $A_n \uparrow A$.

Por lo tanto: $$ \begin{align*} \sum_{i \ge 0} \mu(B_i) & = \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 0}^n \mu(B_i),\\ &= \lim_{n \to \infty} \mu(A_n), \tag{$\mu$ es aditiva}\\ &= \mu(A),\\ &= \mu(\cup_{i \ge 0} B_i). \end{align*} $$ Entonces, $\mu$ es $\sigma$-aditiva.