Demostrar a partir del modelo de Black-Scholes que el valor de una opción de compra europea sobre un activo que paga dividendos continuos es menor que el de una opción sin dividendos.

Question

Black-Scholes nos proporciona las siguientes fórmulas para los precios de las opciones de compra europeas sobre un subyacente que paga o no paga dividendos continuos constantes (de proporción $D$):

$$C^E_D(S_t,t,K,T)=e^{-D(T-t)}S_t\Phi(d_D)-e^{-r(T-t)}K\Phi(d_D-\sigma \sqrt{(T-t)})$$ $$C^E(S_t,t,K,T)=S_t\Phi(d)-e^{-r(T-t)}K\Phi(d-\sigma \sqrt{(T-t)})$$

Donde $d_D=\frac{\text{ln}\left(\frac{S_t}{K}\right)+(r-D+\frac{1}{2}\sigma^2)(T-t)}{\sigma \sqrt{(T-t)}}$ y $d=\frac{\text{ln}\left(\frac{S_t}{K}\right)+(r+\frac{1}{2}\sigma^2)(T-t)}{\sigma \sqrt{(T-t)}}$.

Ahora sé por sentido común y razonamiento de no arbitraje que debemos tener $C^E_D, pero estoy luchando por ver cómo las fórmulas muestran esto. ¿Se puede probar matemáticamente?

es decir algo así como: $$d_D

Pero esta disminución trabaja en contra de nosotros en el término $K$...

Answer 1

Así es como podemos demostrar que el precio de Black-Scholes de una opción de compra europea sobre un activo que paga un dividendo continuo es menor que el precio de Black-Scholes de una opción de compra europea sobre un activo similar que no paga ningún dividendo.

Entendiendo el Modelo Black-Scholes

El modelo Black-Scholes proporciona una manera de calcular el precio teórico de una opción de compra o venta de estilo europeo utilizando las siguientes variables de entrada:

• S: Precio actual de la acción
• K: Precio de ejercicio
• T: Tiempo hasta la expiración (en años)
• r: Tasa de interés libre de riesgo
• σ: Volatilidad del activo subyacente
• q: Rendimiento de dividendos continuo

El Impacto de los Dividendos

En presencia de pagos de dividendos continuos, el precio esperado de la acción en cualquier punto en el futuro se reduce. Aquí está el por qué:

• Cuando una acción paga un dividendo, su precio disminuye inmediatamente (en la fecha ex-dividendo) en una cantidad aproximadamente igual al pago de dividendos.
• Este pago de dividendos representa una salida de efectivo de la empresa a los accionistas, reduciendo los activos mantenidos por la empresa y por lo tanto reduciendo su precio de la acción.

Efecto en la Fórmula de Black-Scholes

La fórmula de Black-Scholes para una opción de compra europea sobre una acción que paga un rendimiento de dividendos continuo es:

$C = Se^{(-qT)} N(d_1) - Ke^{(-rT)} N(d_2)$

Donde:

$d_1 = [\ln{(S/K)} + (r - q + \sigma^²/2)T] / (\sigma\sqrt{T})$

$d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}$

N(x) es la función de distribución normal estándar acumulativa

Observa el término $e^{(-qT)}$ que reduce el valor de S en la fórmula en comparación con la fórmula de Black-Scholes para una acción que no paga dividendos, donde este término no existe.

El Resultado

Dado que los dividendos reducen efectivamente el valor futuro de la acción subyacente, la opción de compra se vuelve menos valiosa para el titular de la opción para el mismo precio de ejercicio. El potencial de ganancias de ejercer la opción se reduce porque es probable que el precio de la acción sea más bajo debido a los pagos de dividendos. En consecuencia, el precio de la opción de compra sobre una acción que paga dividendos será menor que el precio de una opción de compra similar sobre una acción que no paga dividendos.

Conclusión

La presencia de un rendimiento de dividendos continuo reduce el precio de una opción de compra europea, según lo calculado por el modelo de Black-Scholes, en comparación con una opción idéntica sobre una acción que no paga dividendos.