Estoy construyendo un modelo de Monte Carlo basado en el GMB, y me resulta difícil entender por qué restamos 1/2 varianza del drift. Si tengo un drift del 12% y una volatilidad del 50%, eso me daría un drift "medio" de -0.24% basado en esto. Eso no tiene sentido para mí. Si espero que el activo se desplace hacia arriba, ¿no debería ser mi drift medio positivo? También estoy asumiendo que drift y retorno esperado son sinónimos en este contexto. Por favor corrijanme si drift y retorno esperado/requerido no son lo mismo, y si es así, ¿qué exactamente es "drift"? No soy matemático, así que tengan en cuenta eso en sus respuestas ¡y gracias por la ayuda!
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Philipp
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Supongo que estás hablando de esto:
$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$
con la solución a la EDO anterior dada como:
$S_t = S_0 exp((\mu - \sigma^2/2)t + \sigma W_t)$
La deriva es el término $\mu$ anterior y supongo que cuando dices "deriva media" te refieres a $\mu - \sigma^2/2$? La "deriva media" en realidad es del 0.5% según mis cálculos pero eso no viene al caso.
Originalmente quería escribir mi propia respuesta pero creo que Movimiento Browniano Geométrico - Interpretación de la Volatilidad (en el término de deriva) lo hace mucho mejor.
BC.
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Para (esperemos) proporcionar algo de información adicional a la respuesta existente:
Siguiendo la notación de Lars Tyge Nielsen, los precios de las acciones $S_t$ en el tiempo t siguen una distribución lognormal en el mundo de Black Scholes. En el tiempo 0, $$log(S_t) \sim \mathcal{N}(log(S_0) +(\mu -\sigma^2/2)t, \sigma^2t).$$
La tasa de rendimiento continuamente compuesta en un intervalo $[0,t]$ es $$\frac{log(S_t)-log(S_0)}{t}.$$ Dado el precio actual de la acción $S$, esta tasa sigue la distribución normal $$\mathcal{N}((\mu -\sigma^2/2),\sigma^2/t).$$ En términos sencillos, su logaritmo se distribuye normalmente con media $(\mu -\sigma^2/2)$ y varianza $\sigma^2/t$. A medida que $t$ crece, la varianza disminuye hacia cero, mientras que la media de la tasa de rendimiento no depende del tiempo $t$. Sin embargo, la media depende de la volatilidad. El gráfico a continuación muestra esta relación para una alta volatilidad ($t=1$).
La razón por la que obtienes un valor negativo (para una volatilidad alta) se debe en última instancia a esta respuesta.
Todo lo demás igual, aumentar la volatilidad hace que la distribución intente extenderse a ambos lados del dominio de definición pero choca con un límite en cero, donde la probabilidad se acumula (masa de probabilidad).
Intuitivamente, esto suena un poco extraño. En mi opinión, la mejor manera de responder es mirando la función de densidad de probabilidad (PDF) y la función de densidad acumulada (CDF). Ejecuté un código en Julia para demostrar esto:
- Cuanto mayor , mayor es el desplazamiento hacia el límite inferior de la distribución lognormal del máximo global de la función de densidad de probabilidad (la moda).
- La función de densidad acumulada (CDF) muestra el aumento en la probabilidad de que $S_T$ sea muy pequeño.
- Por último, el efecto en el rendimiento medio también se puede demostrar trazando la PDF de la distribución normal.
La deriva en Black Scholes está en la medida de riesgo neutral $\mathbb Q$. Detalles se pueden encontrar en esta respuesta, o aquí.
