Cambiar economía con comercio

Question

Considera una economía de intercambio con 2 bienes $x,y$ y $n+1$ consumidores $0,1,\cdots,n$. El consumidor 0 tiene una función de utilidad $u_0(x,y)=x^\alpha y^{1-\alpha}$ y una dotación $w_0=(1,0)$. Los otros consumidores $1,\cdots, n$ son idénticos con funciones de utilidad $u_i(x,y)=x^\beta y^{1-\beta}$ y dotaciones $w_i=(0,1)$. Supongamos $0<\alpha<\beta<1$. Si designamos el precio relativo de $x$ a $y$ como $\bar{p}$, entonces (si estoy en lo correcto) un equilibrio de Walras debería ser $x_1^*=\alpha, y_1^*=n\beta, x_2^*=\frac{1-\alpha}{n}, y_2^*=1-\beta$, y $\bar{p}=\frac{n\beta}{1-\alpha}$.

Pero ahora supongamos que la economía se abre al libre comercio y como resultado, el precio relativo de $x$ a $y$ se duplica: $\hat{p}=2\bar{p}$. Necesito responder 2 preguntas:

1. ¿Cuánto de cada bien exportaría o importaría la economía en el nuevo equilibrio? ¿Quién gana y quién pierde?
2. Encuentra un sistema de transferencias globales para que después del libre comercio, cada consumidor en la economía esté estrictamente mejor.

¿Cómo debo proceder con el equilibrio de Walras que encontré?

Answer 1

Primero, observemos el equilibrio de autarquía:

El problema de maximización de la utilidad del Consumidor $0$ es

$\displaystyle\max_{x_0\geq 0,y_0\geq 0}x_0^\alpha y_0^{1-\alpha}$ sujeto a $px_0+y_0\leq p$

Al resolverlo obtenemos:

$(x_0^d,y_0^d)\left(p\right)=\left(\alpha, (1-\alpha)p\right)$

El problema de maximización de la utilidad del Consumidor $i$, donde $i\in\{1,\ldots,n\}$, es

$\displaystyle\max_{x_i\geq 0,y_i\geq 0}x_i^\beta y_i^{1-\beta}$ sujeto a $px_i+y_i\leq 1$

Al resolverlo obtenemos:

$\displaystyle(x_i^d,y_i^d)\left(p\right)=\left(\frac{\beta}{p}, 1-\beta\right)$

Ahora podemos considerar el mercado para, digamos $y$, igualar la oferta y la demanda y resolver para $p$:

$(1-\alpha)p+(1-\beta)n=n$

y obtenemos el equilibrio de $p$ es decir $\overline{p}$ como:

$\overline{p}=\dfrac{\beta n}{1-\alpha}$.

El consumo correspondiente de los consumidores es:

$\overline{x}_0=\alpha, \ \overline{y}_0=\beta n, \ \overline{x}_i=\dfrac{1-\alpha}{n}, \ \overline{y}_i=1-\beta$.

Con el comercio, $\hat{p}=2\overline{p}=\dfrac{2\beta n}{1-\alpha}$.

El consumo correspondiente de los consumidores ahora es:

$\hat{x}_0=\alpha, \ \hat{y}_0=2\beta n, \ \hat{x}_i=\dfrac{1-\alpha}{2n}, \ \hat{y}_i=1-\beta$.

Claramente, la economía exportará $x$, y la magnitud de la exportación es:

$1-\alpha-\dfrac{(1-\alpha)}{2}=\dfrac{1-\alpha}{2}$

y importará $y$, y la magnitud de la importación es:

$2\beta n+(1-\beta)n-n=\beta n$

Como podemos ver al comparar los paquetes de consumo de $0$ y de los consumidores $i$ que el consumidor $0$ se beneficia del comercio, mientras que los consumidores - $i$ están peor.

Una forma fácil de encontrar las transferencias para que todos los consumidores estén estrictamente mejor con el comercio es asegurarse de que las transferencias sean de tal manera que todos puedan pagar el paquete de equilibrio de autarquía a los precios de libre comercio es decir La transferencia de $0$ a los demás es igual a $\hat{p}-(\hat{p}\alpha+\beta n)=\dfrac{2\beta n}{1-\alpha}-\left(\dfrac{2\alpha\beta n}{1-\alpha}+\beta n\right)=\dfrac{2\beta n}{1-\alpha}-\left(\dfrac{\alpha\beta n+\beta n}{1-\alpha}\right)=\beta n$

Por lo tanto, la transferencia a cada $i$ de $0$ es igual a $\beta$.

Entonces, tenemos el ingreso después de la transferencia de $0$ como $\hat{p}-\beta n=\dfrac{\beta n(1+\alpha)}{(1-\alpha)}$ y de los $i$s como $1+\beta$. Las elecciones correspondientes de los consumidores son:

$\tilde{x}_0=\dfrac{\alpha(1+\alpha)}{2}, \ \tilde{y}_0=\beta n(1+\alpha), \ \tilde{x}_i=\dfrac{(1+\beta)(1-\alpha)}{2n}, \ \tilde{y}_i=(1-\beta)(1+\beta)$.