De la condición de transitividad al consumo inicial

Question

Supongamos que tenemos un modelo de crecimiento neoclásico discreto en tiempo con utilidad CRRA donde resolvemos $$\max_{\{c,k\}_{t=0}^{\infty}} \sum_{t=0}^{\infty}\beta^t \frac{c_t^{1-\sigma}-1}{1-\sigma}$$ $$\text{tal que } \begin{cases} k_{t+1}=AF(k_t)-\delta k_t -c_t \\ c_t\geq 0, k_t\geq 0,k_0=\hat{k}_0\end{cases}$$ Donde $F$ es una función de producción que satisface las condiciones de Inada.

Las condiciones de optimalidad de este problema son la ecuación de Euler para el consumo, la restricción presupuestaria y dos condiciones de frontera. $$\begin{align*} \frac{c_t^{-\sigma}}{\beta c_{t+1}^{-\sigma}}&=F'(k_{t+1})+1-\delta \\ k_{t+1}&=AF(k_t)-\delta k_t -c_t \\ k_0&=\hat{k}_0 \\ \lim_{\tau \to \infty}\beta^{\tau}c_{\tau}^{-\sigma}k_{\tau+1}&=0 \end{align*}$$

Dado un nivel inicial de consumo y capital, podemos utilizar la ecuación de Euler y la restricción presupuestaria para iterar hacia adelante en el camino óptimo, y las dos condiciones inferiores proporcionan valores de frontera que determinan nuestro $c_0$ y $k_0$ óptimos.

Aunque puedo programar un algoritmo de disparo para aproximar el nivel inicial de consumo utilizando la condición TVC, me preguntaba si hay alguna solución analítica para el nivel inicial de consumo en este modelo básico. Intenté derivar una respuesta iterando hacia adelante la ecuación de Euler y la restricción presupuestaria, pero se complicó rápidamente y no pude obtener una respuesta.

¿Significa esto que estamos limitados a respuestas implícitas para los niveles iniciales de consumo en estos modelos? ¿O hay alguna manera sencilla de derivar una respuesta analítica que me esté perdiendo? Me doy cuenta de que el nivel inicial de consumo no es el enfoque del modelo, ya que se trata principalmente de dinámicas de transición y comportamiento alrededor del estado estacionario, pero pensé que sería bueno si hubiera una solución exacta para este ejemplo simplificado.

Answer 1

Por lo que sé, solo es posible con la utilidad log y $\delta = 1$, es decir, el capital se deprecia completamente, por lo tanto, a menudo estamos restringidos a respuestas implícitas (o bien linealizas y resuelves el sistema de ecuaciones de diferencia mediante una descomposición en valores propios y vectores propios, el problema es que en algunos ajustes la linealización te da una aproximación terriblemente alejada de la verdadera solución, especialmente si tienes opciones externas o restricciones de préstamo).

Busquemos la solución para $U(c_t) = \ln c_t$, $\delta = 1$ y $F(k_t) = k_t^\alpha$ con $\alpha \in (0,1)$

De las C.O.P., tenemos un sistema de dos ecuaciones:

\begin{equation} \frac{1}{c_t} = \beta \frac{1}{c_{t+1}}\alpha k_{t+1}^{\alpha - 1} \hspace{20pt} (1) \end{equation} \begin{equation} c_t = k^{\alpha}_t - k_{t+1} \hspace{29pt} (2) \end{equation}

Sustituyendo $(2)$ en $(1)$, obtenemos la infame ecuación de diferencia no lineal de segundo orden:

\begin{equation} \frac{1}{k^{\alpha}_t - k_{t+1} } = \alpha\beta \frac{ k_{t+1}^{\alpha - 1}}{k^{\alpha}_{t+1} - k_{t+2}} \hspace{20pt} (3) \end{equation}

Para $t = T-2$, $(3)$ se reduce a:

\begin{equation} \frac{1}{k^{\alpha}_{T-2} - k_{T-1} } = \alpha\beta \frac{ k_{T-1}^{\alpha - 1}}{k^{\alpha}_{T-1} - k_{T}} \hspace{20pt} (4)

El límite de $(4)$ cuando $T \rightarrow +\infty$ es (ya que $k_T \rightarrow 0$ cuando $T \rightarrow +\infty$)

\begin{equation} \frac{1}{k^{\alpha}_{T-2} - k_{T-1} } = \alpha\beta \frac{ 1}{k_{T-1}} \hspace{20pt} (5)

Resolviendo $(5)$ para la variable de control en $T-2$, $k_{T-1}$, obtenemos:

\begin{equation} k_{T-1} = \frac{\alpha\beta}{1+\alpha\beta}k_{T-2}^{\alpha} \hspace{20pt} (6)

Ahora, iteramos este proceso sustituyendo $t = T-3$ en la ecuación $(3)$ obtenemos

\begin{equation} \frac{1}{k^{\alpha}_{T-3} - k_{T-2} } = \alpha\beta \frac{ k_{T-2}^{\alpha - 1}}{k^{\alpha}_{T-2} - k_{T-1}} \hspace{20pt} (7)

Sustituyendo $(6)$ en $(7)$ y resolviendo para $k_{T-2}$ obtenemos:

\begin{equation} k_{T-2} = \frac{\alpha\beta + (\alpha\beta)^2}{1 + \alpha\beta + (\alpha\beta)^2}k^{\alpha}_{T-3} \hspace{20pt} (8)

Iterando $(8)$, obtenemos:

\begin{equation} k_{t+1} = \frac{\sum^{T-(t+1)}_{j=1} (\alpha\beta)^j}{\sum^{T-(t+1)}_{k=0} (\alpha\beta)^k} k_{t}^{\alpha} \hspace{20pt} (9)

$(9)$ se reduce a:

\begin{equation} k_{t+1} = \alpha\beta\frac{1-(\alpha\beta)^{T-(t+1)}}{1-(\alpha\beta)^{T-t}}k_{t}^{\alpha} \hspace{20pt} (10)

El límite de $(10)$ cuando $T\rightarrow + \infty$ es simplemente \begin{equation} k_{t+1} = \alpha\beta k_{t}^{\alpha} \hspace{20pt} (*)