Prueba de las condiciones de Blanchard-Kahn

Question

Estoy tratando de entender la prueba de las condiciones de BK dadas en el apéndice de su artículo. En su artículo, los autores tienen el modelo original:

Hay $X_{t + 1} \in \mathbb{R}^{n}, P_{t + 1} \in \mathbb{R}^{m}$. Este modelo se transforma en

usando el hecho de que $A = C^{-1} \Lambda C$. $\Lambda$ también es la matriz de valores propios de A, que están ordenados en orden creciente por módulo: $|\lambda_{11}| < |\lambda_{22}| < ... < |\lambda_{(m+n)(m+n)}|$. Después de la construcción de $\Lambda$ podemos descomponerlo en dos submatrices:

Aquí $\Lambda_1$ consiste en valores propios que están dentro de la circunferencia unitaria en $\mathbb{C}$. Y $\Lambda_2$ consiste en valores propios que están fuera de la circunferencia unitaria. Por definición, $\Lambda_1$ tiene $\bar{n}$ filas y columnas. Y $\Lambda_2$ tiene $\bar{m}$ filas y columnas. Entonces se sigue que el vector $Y_t$ puede no tener la misma cantidad de elementos que $X_t$ porque

y $B_{11} \in \mathbb{R}^{n \times \bar{n}}$. Así que $Y_t$ tiene $\bar{n}$ elementos. También sabemos que $n + m = \bar{n} + \bar{m}$.

Entonces aquí están mis preguntas: El apéndice del artículo de Blanchard Kahn (1980) dice que podemos dividir nuestro sistema original de ecuaciones en dos subsistemas (sí, podemos). El segundo subsistema será $E_t[Q_{t+1}] = \Lambda_2 Q_t + (C_{21} \gamma_1 + C_{22} \gamma_2) Z_t$. También se afirma que el sistema explotará a menos que:

$Q_t = -\sum_{i=0}^{\infty} \Lambda_2^{-i-1}(C_{21}\gamma_1 + C{22} \gamma_2)E_t[Z_{t+i}] \quad(1)$

Sin embargo, no parece ser obvio ya que obtenemos (1) simplemente iterando la fórmula $E_t[Q_{t+1+i}] = \Lambda_2 Q_{t+i} + (C_{21} \gamma_1 + C_{22} \gamma_2) Z_{t + i}$ para $i=0,...,\infty$. Entonces, ¿cómo se deduce la no explosividad a partir de (1)?

Answer 1

La expresión (1) solo se deduce de $\mathbb{E}_t[Q_{t+1}]=\Lambda_2Q_t+(C_{21} \gamma_1 +C_{22}\gamma_2)Z_t$ si hacemos una suposición sobre la rapidez con la que crece $Q_t$ en relación con $\Lambda_2$.

Para ver esto, note que puede escribir la expresión $\mathbb{E}_t[Q_{t+1}]=\Lambda_2 Q_t +(C_{21}\gamma_1+C_{22}\gamma_2)Z_t$ como $$Q_t=-\Lambda_2^{-1}(C_{21}\gamma_1+C_{22}\gamma_2)Z_t+\Lambda_2^{-1}\mathbb{E}_t[Q_{t+1}]$$ Esto define una relación de recurrencia de la forma $Q_t=\Lambda_2^{-1}B_t+\Lambda_2^{-1}\mathbb{E}_t[Q_{t+1}]$ donde $B_t=-(C_{21}\gamma_1+C_{22}\gamma_2)Z_t$. Iterando esta expresión hacia adelante $$\begin{align*} Q_t &= \Lambda_2^{-1}B_t+\Lambda_2^{-1}\mathbb{E}_t[Q_{t+1}] \\ &=\Lambda_2^{-1}B_t +\Lambda_2^{-1}\mathbb{E}_t[\Lambda_2^{-1}B_{t+1}+\Lambda_2^{-1}\mathbb{E}_{t+1}[Q_{t+1}]] \\ &= \Lambda_2^{-1}B_t +\Lambda_2^{-2}\mathbb{E}_t[B_{t+1}]+\Lambda_2^{-2}\underbrace{\mathbb{E}_t[\mathbb{E}_{t+1}[Q_{t+1}]]}_{=\mathbb{E}_t[Q_{t+1}]} \\ &=\Lambda_2^{-1}B_t +\Lambda_2^{-2}\mathbb{E}_t[B_{t+1}]+\Lambda_2^{-2}\mathbb{E}_t[Q_{t+1}] \\ & \ \ \vdots \\ &=\sum_{i=0}^{\infty}\Lambda_2^{-i-1}\mathbb{E}_t[B_{t+i}]+\lim_{\tau\to \infty}\Lambda_2^{-\tau-1}\mathbb{E}_t[Q_{t+\tau}] \\ &=\sum_{i=0}^{\infty}\Lambda_2^{-i-1}\mathbb{E}_t[-(C_{21}\gamma_1+C_{22}\gamma_2)Z_{t+i}]+\lim_{\tau\to \infty}\Lambda_2^{-\tau-1}\mathbb{E}_t[Q_{t+\tau}] \\ &=-\sum_{i=0}^{\infty}\Lambda_2^{-i-1}(C_{21}\gamma_1+C_{22}\gamma_2)\mathbb{E}_t[Z_{t+i}]+\lim_{\tau\to \infty}\Lambda_2^{-\tau-1}\mathbb{E}_t[Q_{t+\tau}] \end{align*}$$

Por lo tanto, la no explosividad corresponde a $\lim_{\tau\to \infty}\Lambda_2^{-\tau-1}\mathbb{E}_t[Q_{t+\tau}]=0$. Como $\Lambda_2$ contiene los autovalores fuera del círculo unitario, $\Lambda_2^{-\tau-1}$ tiende a la matriz 0. Por lo tanto, esta condición está diciendo que para un comportamiento no explosivo necesitamos que $\mathbb{E}_t[Q_{t+\tau}]$ crezca a una velocidad más lenta que $\Lambda_2^{\tau}$. Esta condición límite es similar a la condición de transversalidad que también excluye trayectorias explosivas.