Demostrando que la diferenciabilidad dos veces implica supermodularidad

Question

Dejando $\theta: \mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$, decimos que $\theta(x;q)$ satisface la propiedad de cruce único si, para todo $x,y\in\mathbb{R}^n$ y $q,r\in\mathbb{R}^m$ tales que $x\geq y$ y $q\geq r$:

$$ \theta(x;r) \geq \theta(y;r) \to \theta(x;q) \geq \theta(y;q) $$

y

$$ \theta(x;r) > \theta(y;r) \to \theta(x;q) > \theta(y;q). $$

Si $\theta$ es dos veces diferenciable con $\frac{\partial \theta}{\partial x_i \partial q_k}>0$ para todo $i$ y $k$, entonces $\theta$ satisface la propiedad de cruce único.

No estoy muy seguro acerca de esto, mi primer intento haría uso de la definición de segunda derivada asumiendo que la dimensión de $x$ y $q$ son ambos uno.

$$ \frac{\partial^2 \theta}{\partial x \partial q} = \lim_{h\to 0}\lim_{\Delta \to 0} \frac{\theta(x+h,q+\Delta)-\theta(x,q+\Delta)-\theta(x+h,q)+\theta(x,q)}{\Delta h} $$

Si al alcanzar el límite se mantiene el signo

$$ \theta(x+h,q+\Delta)-\theta(x,q+\Delta) >\theta(x+h,q)-\theta(x,q) >0 $$

siendo el último paso resultado de las dimensiones siendo uno.

Answer 1

De hecho, dadas las derivadas parciales del signo en la cruz, la desigualdad más fuerte $$ \theta(x;q) - \theta(y;q) \ge \theta(x;r) - \theta(y;r), $$ se cumple para todo $x \ge y$ y $q \ge r$.

Para ver esto, se puede usar el teorema del valor medio multivariado (asumiendo que $\theta$ es $C^2$).

Primero tenemos que existe algún $s$ para el cual $r \le s \le q$ y: $$ \left(\theta(x;q) - \theta(y;q)\right) - \left(\theta(x;r) - \theta(y;r)\right) = \sum_i \left[\frac{\partial \theta(x;s)}{\partial q_i} - \frac{\partial \theta(y;s)}{\partial q_i}\right](q_i - r_i). $$

Para el término entre corchetes, podemos aplicar una vez más el teorema del valor medio multivariado: Para todo $i$, existe un $z^i$ tal que $y \le z^i \le x$ y (indexo $z^i$ por $i$ ya que el valor del vector puede ser diferente para diferentes $j$): $$ \frac{\partial \theta(x;s)}{\partial q_i} - \frac{\partial \theta(y;s)}{\partial q_i} = \sum_j \frac{\partial^2 \theta(z^i;s)}{\partial q_i \partial x_j}(x_j - y_j) $$

Juntando los dos resultados tenemos: $$ \left(\theta(x;q) - \theta(y;q)\right) - \left(\theta(x;r) - \theta(y;r)\right) = \sum_i \sum_j \left[\frac{\partial^2 \theta(z^i;s)}{\partial q_i \partial x_j}\right](x_j - y_j)(q_i - r_i). $$ Si todas las derivadas parciales cruzadas son positivas, entonces el lado derecho también es positivo si $x \ge y$ y $q \ge r$. Por lo tanto, $$ \theta(x;q) - \theta(y;q) \ge \theta(x;r) - \theta(y;r) $$