Ayúdame a entender la cartera de súper replicación.

Question

Consideremos una acción hipotética con un precio actual de $S_t$ en el tiempo t y puede tomar cualquier valor positivo con una probabilidad estrictamente positiva.

Existe un derivado que paga $e^{S_T}$ en el vencimiento $T$ tal que el emisor paga $e^{S_T}$ al tenedor, pero el tenedor no paga nada. $C_0$ es el precio de este derivado en el tiempo $0$.

Además, existe un bono cupón cero libre de riesgo con un valor nominal de 1 y un vencimiento $T$, con un precio de $Z_0$ en el tiempo $0$.

¿Cómo puedo mostrar que el derivado no puede ser super replicado si solo están disponibles la acción y el bono en el mercado?

Estoy pensando en términos de la estructura de pago de la combinación de bonos y acciones (que es lineal) frente a la estructura de pago del derivado que es no lineal. Pero dependiendo de las unidades de acciones o los bonos, ¿la línea lineal está por encima de la curva $e^{S_T}$ para algún intervalo de $S_T$, verdad? ¿Entonces puedo super replicar después de todo?

¿O probar por contradicción de alguna manera?

Answer 1

No estoy familiarizado con las carteras de super-replicación, pero lo que he entendido es que la idea es encontrar una cobertura estática que sea mayor o igual al activo con probabilidad 1, es decir, encontrar $a, b$ tal que $aS_T + b \geq e^{S_t}$ casi seguramente.

Creo que tienes generalmente la idea correcta al comparar el pago estático lineal en $S_T$ con el derivado exponencial en $S_T$, y señalar que todo lo que necesitamos para concluir que una cartera no es super-replicante es alguna probabilidad positiva de que esa cartera valga menos que el derivado. En otras palabras, cuando señalas que la línea está por encima de la exponencial en el intervalo, eso no hace que sea una cartera de super-replicación, tener ningún intervalo (con probabilidad positiva) donde la línea esté por debajo de la exponencial sería.