¿Cómo encontrar un equilibrio walrasiano para esta economía de producción?

Question

Consideremos una economía de producción con 2 consumidores y 2 empresas. Hay 3 bienes: ocio $l$ y dos bienes $x,y$. La función de utilidad de ambos consumidores es $u_i(l_i,x_i,y_i)=l_i(x_i)^2(y_i)^2$ y las funciones de producción de las 2 empresas son $x=2\sqrt{l}$ y $y=2x$. Cada consumidor solo tiene 6 unidades de ocio. El consumidor 1 es el único propietario de la primera empresa (la que produce $x$) y el consumidor 2 es el único propietario de la segunda empresa (la que produce $y$). Supongamos que la tasa salarial es 1.

¿Cómo puedo encontrar un equilibrio de Walras para esta economía?

Answer 1

Al resolver el problema de maximización de beneficios de la empresa que produce $x$,

$\max_{x\geq 0, l_X\geq 0} \ p_Xx - l_X$ sujeto a $x = 2\sqrt{l_X}$

se obtiene la demanda de trabajo por parte de la empresa que produce $x$ y la oferta de $x$ como: $l_X(p_X)=p_X^2$, $x^s(p_X)=2p_X$. Los beneficios obtenidos por esta empresa son $\pi_X(p_X)=p_X^2$.

Al resolver el problema de maximización de beneficios de la empresa que produce $y$,

$\max_{x\geq 0, y\geq 0} \ p_Yy - p_Xx$ sujeto a $y = 2x$

se obtiene la condición para una producción positiva de $y$ como: $p_Y = \dfrac{p_X}{2}$. Los beneficios obtenidos por esta empresa son $\pi_Y(p_X, p_Y)=0$.

Ahora podemos resolver el problema de maximización de utilidad del consumidor $i$ \begin{eqnarray*} \max_{l_i\geq 0,x_i\geq 0,y_i\geq 0} & l_ix_i^2y_i^2 \\ \text{s.t. } & p_Xx_i+p_Yy_i+l_i = m_i \end{eqnarray*} Aquí $m_1=6+\pi_X = 6+p_X^2$ y $m_2 = 6+\pi_Y = 6$.

Al resolver el problema de maximización de utilidad, obtenemos la demanda de ocio como $l_1 = \dfrac{6+p_X^2}{5}$, $l_2 = \dfrac{6}{5}$. Utilizando la condición de oferta = demanda en el mercado laboral, obtenemos

$l_1+l_2+l_X=12$ es decir $\dfrac{6+p_X^2}{5}+\dfrac{6}{5}+p_X^2 = 12$

lo que nos da $p_X=2\sqrt{2}$. Utilizando $p_Y = \dfrac{p_X}{2}$, obtenemos $p_Y = \sqrt{2}$. La demanda correspondiente de trabajo por parte de la empresa que produce $x$ es igual a $l_X=8$, las demandas de ocio por parte de los dos individuos son respectivamente $l_1=2.8$ y $l_2=1.2$.