¿Cómo puedo demostrar que la función de política es no decreciente?

Question

Considera la siguiente ecuación funcional: $$V(x)=\max_{y\in [0,f(x)]}[u(f(x)-y)+\beta V(y)]$$ donde $u$ es continua, estrictamente creciente y estrictamente cóncava; la función $f$ es continua y estrictamente creciente, y $\beta\in (0,1)$. Sea $g(x)$ la regla de decisión asociada con esta ecuación funcional: $$V(x)=u[f(x)-g(x)]+\beta V[g(x)]$$ ¿Cómo puedo demostrar que $g$ es no decreciente (si $x'>x$, entonces $g(x')\geq g(x)$)?

Supongamos que $f$ y $u$ no necesariamente son diferenciables.

Answer 1

Supongamos que $x'>x$. Mostraremos que $g(x')\geq g(x)$. Supongamos que no es así y tenemos $x'>x$ pero $g(x'). Dado que $0\leq g(x') < g(x) \leq f(x)< f(x')$, $g(x')$ es factible en el caso de $x$, y $g(x)$ es factible en el caso de $x'$, consecuentemente ambas desigualdades siguientes son verdaderas: \begin{eqnarray*}V(x')=u(f(x')-g(x'))+\beta V(g(x')) &\geq & u(f(x')-g(x))+\beta V(g(x)) \\ V(x)=u(f(x)-g(x))+\beta V(g(x))&\geq & u(f(x)-g(x'))+\beta V(g(x'))\end{eqnarray*}

Sumándolas obtenemos la siguiente desigualdad:

$u(f(x')-g(x'))+\beta V(g(x'))+u(f(x)-g(x))+\beta V(g(x))\geq u(f(x')-g(x))+\beta V(g(x))+u(f(x)-g(x'))+\beta V(g(x'))$

lo cual resulta en $u(f(x')-g(x'))-u(f(x)-g(x'))\geq u(f(x')-g(x))-u(f(x)-g(x))$

lo cual, por la concavidad estricta de $u$, implica que $g(x')\geq g(x)$ contradiciendo que $g(x') < g(x)$.

Answer 2

Voy a asumir que todo está suave y que la solución óptima $g(x)$ es interior (en $]0, f(x)[$)

Primero puedes demostrar que la función $V$ es cóncava ya que el operador de Bellman mapea funciones cóncavas a funciones cóncavas.

Ahora asume que la solución $g(x)$ es interior. Entonces, la condición de primer orden (con respecto a $y$) da como resultado: $$ -u'(f(x) - g(x)) + \beta V'(g(x)) = 0. $$ Tomando la derivada con respecto a $x$ se obtiene: $$ -u''(f(x) - g(x))f'(x) + u''(f(x) - g(x))g'(x) + \beta V''(g(x)) g'(x) = 0, $$ Entonces: $$ g'(x) = \frac{u''(f(x) - g(x))f'(x)}{u''(f(x) - g(x)) + \beta V''(g(x))}. $$ Tanto el numerador como el denominador en el lado derecho son negativos, por lo que $g'(x) > 0$.