¿Cómo muestro que el problema de minimización tiene solución?

Question

Considera un espacio de producto interior $X$ con la métrica inducida $d$ (inducida por el producto interior). Supongamos que el espacio métrico inducido $(X,d)$ es completo. Además, para todo $x,y,z\in X$,

$$[d(x,y)]^2+[d(x,z)]^2=2\left[d\left(x,\frac{y+z}{2}\right)\right]^2+\frac{1}{2}[d(y,z)]^2$$

Sea $C$ un subconjunto no vacío, cerrado y convexo de $X$ y $v\in X$. Quiero demostrar que el problema de minimización

$$\min_{x\in C}d(x,v)$$

tiene una solución. ¿Cómo puedo hacer esto?

Lo que estoy intentando hacer es definir $m\equiv \inf_{x\in C}d(x,v)$. Considera la secuencia $d(x_n,v)\to m$. Estoy teniendo problemas para mostrar que esta secuencia es de Cauchy.

Answer 1

Tomemos $x=v$, $y=x_n$ y $z=x_m$, y permitamos que $d(v,x_n) y $d(v,x_m):

$$d(v,x_n)^2+d(v,x_m)^2=2d\left(v,\frac{x_n+x_m}{2}\right)^2+\frac{1}{2}d(x_n,x_m)^2$$

$$d(x_n,x_m)^2=2d(v,x_n)^2+2d(v,x_m)^2-4d\left(v,\frac{x_n+x_m}{2}\right)^2$$

Dado que $C$ es convexo, $(x_n+x_m)/2\in C$, lo cual implica

$$d\left(v,\frac{x_n+x_m}{2}\right)\geq m$$

Por lo tanto, $$d(x_n,x_m)^2\leq 2d(v,x_n)^2+2d(v,x_m)^2-4m^2$$ $$\leq 2(m^2+\epsilon^2+2m\epsilon)+2(m^2+\epsilon^2+2m\epsilon)-4m^2=4\epsilon^2+8m\epsilon$$ Concluimos que la secuencia $(x_n)$ es de Cauchy.