No entiendo esta derivación de Carr & Madan (1998), específicamente la derivación del tercer término en la izquierda (término más a la izquierda en la línea inferior).
Mi intento
Sea $h(t, F_t) := V(F_t, t; \sigma_h) e^{r(T-t)}$. Aplicando el lema de Ito, específicamente el teorema 4.4.6 de Shreve, obtengo:
$$ h(T, F_T) = h(0, F_0) = \overbrace{\int_0^T \frac{\partial h}{\partial t} \text{d}t}^{A} + \overbrace{\int_0^T \frac{\partial h}{\partial t} \sigma F_t \text{d}W_t}^{B} + \overbrace{\int_0^T \frac{1}{2} \frac{\partial^2 h}{\partial F_t^2} \sigma F_t^2 \text{d}t}^{C}. $$
Puedo convincente de las integrales $B$ y $C$. Estas son:
$$ B := \int_0^T \frac{\partial h}{\partial F_t} \sigma_t F_t \text{d}W_t = \int_0^T \frac{\partial V}{\partial F_t} e^{r(T-t)} \sigma_t F_t \text{d}W_t = \int_0^T \frac{\partial V}{\partial F_t} e^{r(T-t)} \text{d}F_t. $$
La última igualdad surge de la definición del modelo Black-76 con volatilidad indexada por el tiempo, es decir:
$$ \text{d}F_t = F_t \sigma_t \text{d}W_t. $$
Y $C$ es:
$$ C := \int_0^T \frac{1}{2} \frac{\partial^2 h}{\partial F_t^2} \sigma F_t^2 \text{d}t = \frac{1}{2} \int_0^T e^{r(T-t)} \frac{\partial^2 V}{\partial F_t} \sigma_t^2 F_t^2 \text{d}t. $$
Mi único problema está con la integral $A$. Obtuve:
$$ A := \int_0^T \frac{\partial h}{\partial t} \text{d}t = \int_0^T e^{r(T-t)} \frac{\partial V}{\partial t} \text{d}t. $$
Pero ¿ahora qué? Podría aplicar la ecuación diferencial de Black-76, pero entonces obtendría:
$$ \frac{\partial V}{\partial t} = V r - \frac{1}{2} \frac{\partial^2 V}{\partial F_t} \sigma_t^2 F_t \text{d}t. $$
Esto no es lo que tienen. ¿Dónde estoy cometiendo un error? Parece que estoy omitiendo un argumento financiero en lugar de matemático, donde están mostrando que
$$ \frac{\partial}{\partial t} V(t, F_t; \sigma_t) \stackrel{CM98}{=} -rV(F_t, t; \sigma_h) + \frac{\partial}{\partial t} V(F_t, t; \sigma_h) $$
de alguna manera.
