Acerca de la Prueba del Teorema 21.3 en Matemáticas para Economistas por Simon y Blume

Question

Información de Antecedentes

Estoy estudiando funciones cóncavas y convexas utilizando Matemáticas para Economistas de Simon y Blume. Tengo dificultades para entender su demostración del siguiente teorema:

Teorema 21.3$\quad$ Sea $f$ una función $C^1$ en un subconjunto convexo $U$ de $\mathbb{R}^{\mathbf{n}}$. Entonces, $f$ es cóncava en $U$ si y solo si para todo $\mathbf{x}$, $\mathbf{y}$ en $U$: $$\begin{align*} f(\mathbf{y}) - f(\mathbf{x}) \leq Df(\mathbf{x})(\mathbf{y} - \mathbf{x}); \end{align*}$$ es decir, $$\begin{align*} f(\mathbf{y}) - f(\mathbf{x}) \leq \frac{\partial f}{\partial x_1}(\mathbf{x})(y_1 - x_1) + \dots + \frac{\partial f}{\partial x_n}(\mathbf{x})(y_n - x_n). \end{align*}$$

Esta es la prueba en el libro de texto:

Prueba$\quad$ Sean $\mathbf{x}$ y $\mathbf{y}$ puntos arbitrarios en $U$. Sea $$\begin{align*} g_{\mathbf{x}, \mathbf{y}}(t) & \equiv f(t\mathbf{y} + (1 - t)\mathbf{x}) \\ & = f(x_1 + t(y_1 - x_1), \dots, x_n + t(y_n - x_n)). \end{align*}$$ Luego, por la Regla de la Cadena, $$\begin{align*} g'_{\mathbf{x}, \mathbf{y}}(t) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{x} + t(\mathbf{y} - \mathbf{x}))(y_i - x_i) \end{align*}$$ y $$\begin{align*} g'_{\mathbf{x}, \mathbf{y}}(0) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{x})(y_i - x_i) = Df(\mathbf{x})(\mathbf{y} - \mathbf{x}). \end{align*}$$ Por los Teoremas 21.1 y 21.2, $f$ es cóncava si y solo si cada $g_{\mathbf{x}, \mathbf{y}}$ es cóncava si y solo si para cada $\mathbf{x}$, $\mathbf{y} \in U$, $$\begin{align*} g_{\mathbf{x}, \mathbf{y}}(1) - g_{\mathbf{x}, \mathbf{y}}(0) \leq g'_{\mathbf{x}, \mathbf{y}}(0)(1 - 0) = g'_{\mathbf{x}, \mathbf{y}}(0) \end{align*}$$ si y solo si para cada $\mathbf{x}$, $\mathbf{y} \in U$, $$\begin{align*} f(\mathbf{y}) - f(\mathbf{x}) \leq Df(\mathbf{x})(\mathbf{y} - \mathbf{x}). \end{align*}$$

La demostración utiliza los siguientes dos teoremas, Teoremas 21.1 y 21.2:

Teorema 21.1$\quad$ Sea $f$ una función definida en un subconjunto convexo $U$ de $\mathbb{R}^{\mathbf{n}}$. Entonces, $f$ es cóncava si y solo si su restricción a cada segmento de línea en $U$ es una función cóncava de una variable.

Teorema 21.2$\quad$ Sea $f$ una función $C^1$ en un intervalo $I$ en $\mathbb{R}$. Entonces, $f$ es cóncava en $I$ si y solo si $$\begin{align*} f(y) - f(x) \leq f'(x)(y - x) \quad \forall x, y \in I. \end{align*}$$

Mi Pregunta

Tengo un problema con la parte "Por los Teoremas 21.1 y 21.2, $f$ es cóncava si y solo si $g$ es cóncava si y solo si $g(1) - g(0) \leq g'(0)(1 - 0) = g'(0)$." Aparentemente, "$f$ es cóncava si y solo si $g$ es cóncava" es por el Teorema 21.1, porque $g$ es una restricción de $f$ a cualquier segmento de línea en $U$.

Pero, ¿por qué es que "$g$ es cóncava si y solo si $g(1) - g(0) \leq g'(0)(1 - 0) = g'(0)$"? Supongo que esto debería basarse en el Teorema 21.2, porque $g$ es una función $C^1$ en un intervalo $I = [0,1]$ en $\mathbb{R}$. Sin embargo, si este es el caso, ¿no debería haber escrito: $g$ es cóncava (en $[0,1]$) si y solo si $$\begin{align*} g(p) - g(q) \leq g'(q)(p - q)\quad \forall p, q \in [0,1]? \end{align*}$$ ¿Por qué bastaría $g(1) - g(0)$?

¿He pasado por alto algo o esta prueba está equivocada? ¿Podría alguien ayudarme? ¡Gracias de antemano!

Answer 1

Lo que llamas "$g(1)-g(0)$" es suficiente porque en realidad es una condición sobre $g_{\mathbf{x}, \mathbf{y}}(1) - g_{\mathbf{x}, \mathbf{y}}(0)$, que se requiere que se cumpla para todo $x$ y $y$. En otras palabras, tu sugerencia de requerir $g(p) - g(q) \leq g'(q)(p - q)\,\,\forall p,q\in[0,1]$ ya está contenida en el requisito de la prueba, ya que para un $x$ y un $y$ dados, cualquier elección de $p$ y $q$ simplemente resulta en otro segmento de recta (más corto) entre algún punto $a$ y algún punto $b$ en $U$, que también se puede representar ajustando $x=a$ y $y=b$, escalando nuevamente por $t\in[0,1]$ entre estos dos puntos finales.