¿Cómo derivar la ecuación de Fisher?

Question

Chicos, ayúdenme a derivar la ecuación de Fisher o sugieran referencias que tengan la derivación.

Estoy buscando esta relación: (1+i)=(1+r)(1+)

Answer 1

Puedes encontrar la derivación en Macroeconomics de Olivier Blanchard

Queremos demostrar la relación, $$(1+i)=(1+r)(1+\pi)$$ donde $i$ significa la tasa de interés nominal,

$r$ representa la tasa de interés real y

$\pi$ la inflación esperada

También sabemos que a partir de la definición de tasa de interés real, $$r=i-\pi$$ $$\Rightarrow i=r+\pi$$

Si expandimos el RHS de la ecuación anterior, obtenemos $$(1+r)(1+\pi)=1+r+\pi+(r\pi)$$

Observa que como tanto $r \in (0,1), \pi \in (0,1)$ y suelen ser números pequeños, podemos aproximar su producto a cero ($r\pi \approx 0$)

Por lo tanto, obtenemos $(1+r)(1+\pi)=1+r+\pi+(r\pi)=1+r+\pi=1+i$

Por lo tanto, esto demuestra la afirmación.

Answer 2

La inflación representa la pérdida de poder adquisitivo de la unidad monetaria, por lo tanto, la tasa de inflación esperada tendrá que ser restada como una primera aproximación del rendimiento de los bonos del gobierno que normalmente se expresa en términos nominales.

Sea

$C$ : capital

$\ i_{r}$: tasa de interés real

$\ i_{n}$: tasa de interés nominal

$\ \pi_{e}$: inflación esperada

Podemos escribir

$ C \cdot\ \left (1 + i_{r} \right )= C \cdot\ \left(1 + i_{n} \right ) \cdot\ \left(1 - \pi_{e} \right ) $

Eliminando el factor $C$ de ambos miembros y llevando a cabo los productos obtenemos $ 1 + i_{r} = 1 - \pi_{e} + i_{n} - i_{n}\cdot\ \pi_{e} $ que es $\ i_{r} = i_{n} - \pi_{e} - i_{n}\cdot\ \pi_{e} $

Generalmente, tenemos $\ i_{n} \gg \ i_{n}\cdot\ \pi_{e} $, por lo que el término $\ i_{n}\cdot\ \pi_{e} $ es despreciable en primera aproximación. Como resultado obtenemos

(*) $\ i_{r} \simeq \ i_{n} - \pi_{e} $

En conclusión, al restar solo la contribución de la tasa de inflación esperada de la tasa nominal como se indica en la fórmula (*), cometeremos un error $\varepsilon$.

Algunos detalles sobre la estimación y cálculo de los errores de la tasa de descuento real se proporcionan a continuación. Como se sabe, las tasas de interés son valores numéricos truncados o redondeados a cierto decimal o se conocen con una incertidumbre dada (piense en la varianza de la inflación esperada); el error en la estimación de $i_{r}$ en la fórmula aproximada se deberá a dos contribuciones: el error de truncamiento/redondeo $\varepsilon_{1}$ y el error de aproximación $\varepsilon_{2}$ introducido en la fórmula obtenida anteriormente. Sea $ \ \varepsilon_{n} $ la estimación del error de redondeo en la tasa de interés nominal y $\ \varepsilon_{\pi} $ la estimación del error de redondeo en la tasa de inflación esperada. Representaremos mejor los valores de tasa como sigue: $ i_{n} \pm \varepsilon_{n}$ y $ \pi_{e} \pm \ \varepsilon_{\pi} $. Si las tasas iniciales se truncaron en el lugar decimal k+1 y se redondearon en el lugar decimal k, significa que las tasas de interés iniciales se conocen con exactitud hasta k-2 decimales y escribiremos: $\ i_{n } \pm 0.5\cdot\ 10^{-k} $ y $\ \pi_{e} \pm 0.5\cdot\ 10 ^{-k} $. Usando la fórmula general de propagación del error, será posible evaluar la cantidad de dígitos exactos con los que $i_{r} $ es conocible y, por lo tanto, en última instancia el capital actualizado. Es claro que si la tasa de inflación esperada se estima con un error $\ \varepsilon_{\pi} $ mayor que $\varepsilon_{n} $, la estimación de la tasa en una forma más precisa es inútil ya que la precisión del resultado está determinada por la cantidad con el menor número de dígitos exactos. Para completitud, se presenta la evaluación de errores. El error resultante de la fórmula exacta se debe solo a la propagación de errores de redondeo y es cuantificable en $\varepsilon_{r} $\=$\sqrt{\varepsilon_n^2 + \varepsilon_{\pi} ^2 + \left( - \pi_{e} \cdot \ \varepsilon_{n}\right )^2 + \left( -i_n \cdot \ \varepsilon_{\pi}\right )^2 }$ , mientras que el error resultante de la fórmula aproximada se puede cuantificar en $\varepsilon_{r}^\prime $\=$\sqrt{\varepsilon_n^2 + \varepsilon_{\pi}^2 + \left( i_{n} \cdot \ \pi_{e}\right )^2 }$. Ahora supongamos que $\ \varepsilon_{\pi} \gg \ \varepsilon_{n} $ es decir, $\ \varepsilon_{\pi } $ es mayor en dos órdenes de magnitud (es decir, mayor por un factor de 100) que $\ \varepsilon_{n} $. Decimos que $\ \varepsilon_{\pi} $ debe considerarse un infinitesimal de menor orden que $\ \varepsilon_{n} $.

Razonando en términos infinitesimales y teniendo en cuenta que en una suma de infinitesimales prevalece el infinitesimal de orden inferior, podemos despreciar los términos que convergen a cero más rápidamente y obtener: $\varepsilon_{r} \sim \ \varepsilon_{\pi} $ y $\varepsilon_{r}^\prime \sim \ \varepsilon_{\pi}$ donde el símbolo $\sim \ $ denota la estimación asintótica.

Finalmente, resulta que $\varepsilon_{r}^\prime \simeq \ \varepsilon_{r} $ o los valores de la tasa de interés real pueden conocerse con igual incertidumbre: lo que acaba de describirse justifica el uso extensivo de la fórmula (*).