Desviación estándar de grandes carteras igualmente ponderadas

Question

Digamos que tengo una cartera de acciones con los siguientes parámetros: Sea $n$ el número de acciones en la cartera, sea $\bar\sigma$ la desviación estándar promedio (volatilidad/riesgo) de cada acción, sea $\bar\rho$ la correlación promedio entre cada par de acciones.

Me gustaría determinar la volatilidad de la cartera. Para $n=1$, esto es simple, $\bar\sigma=\sigma_P$.

Para $n=50$, hice lo siguiente, lo cual sé que está mal, pero no puedo encontrar mi error:

Sea $R_P$ el rendimiento de la cartera, $R_i$ el rendimiento de un activo individual y sea $x_i$ el peso de un activo en la cartera.

$$ Var(R_P) = Cov(R_P, R_P) = Cov(\Sigma x_iR_i, R_P)=\Sigma x_iCov(R_i, R_P)=\Sigma_i\Sigma_jx_ix_jCov(R_i, R_j)=\Sigma_i\Sigma_jx_ix_j\rho_{ij}\sigma_i\sigma_j. $$

Ahora, para carteras con ponderación igual, en lugar de $x_i, x_j$, podemos escribir $1/n$; además, podemos escribir $\sigma_i=\sigma_j=\bar\sigma$ y $\rho_{i,j}=\bar\rho$:

$$ \Sigma_i\Sigma_j\frac{1}{n^2}\bar\rho\bar\sigma^2=\frac{1}{n^2}\bar\rho\bar\sigma^2n^2=\bar\rho\bar\sigma^2 = Var(R_P). $$

Por lo tanto, tendríamos $\sigma_P=\sqrt{\bar\rho\bar\sigma^2}$. Esto es cierto para $n=1$ pero no tiene sentido para varias acciones, ¿verdad? Debería haber olvidado el $n$ en algún lugar.

¿Por qué está mal esto?

Por favor, no seas muy duro conmigo, soy nuevo en este tema.

Answer 1

Esto es incorrecto en el paso donde evalúas la doble suma:

$Var(R_P)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{1}{n^2} Cov(R_i,R_j)$

Luego tienes que considerar dos casos $i=j$ e $i \neq j$. Para $i=j$, hay $n$ términos de $\frac{1}{n^2}\overline{\sigma}^2$. Para $i\neq j$, hay $n(n-1)$ términos de $\frac{1}{n^2}\overline{\rho}\overline{\sigma}^2$.

Esto resulta en $Var(R_P)=\frac{1}{n}\overline{\sigma}^2+\frac{n-1}{n}\overline{\rho}\overline{\sigma}^2$.