Mostrando un mercado básico no admite arbitraje

Question

Estoy aprendiendo los fundamentos de matemáticas financieras y me encontré con el siguiente problema que no puedo resolver

Setting

Trabajamos en $\left(\Omega, \mathcal{F},\left(\mathcal{F}_t\right)_{t=0}^1, \mathbb{P}\right)$. Tomemos $d=1, T=1$ y asumamos que el precio descontado es igual al precio no descontado.

Tomemos $S_0^1 \in \mathbb{R}_{+}$, y $S_1^1 \in\left\{\alpha S_0^1, \beta S_0^1\right\}$ cada uno con probabilidades positivas tal que $0<\alpha<\beta$.

Task

Quiero demostrar que $\alpha<1<\beta $ si y solo si no hay arbitraje. Además, me gustaría encontrar un ejemplo que muestre que si $\mathcal{F}_0$ no es la $\sigma$-álgebra trivial, entonces existe un arbitraje.

Attempt

Sé que para que haya arbitraje necesitaría encontrar $H_1$ tal que $$ \mathbb{P}\left(H_1 \cdot \left(S_1^1-S_0^1\right) \geq 0\right)=1 \text { and } \mathbb{P}\left(H_1 \cdot \left(S_1^1-S_0^1\right)>0\right)>0 . $$ pero no sé en qué basar la prueba además de eso. ¡Agradecería cualquier ayuda!

Answer 1

Tomaré que "el precio descontado es igual al precio no descontado" significa que la tasa de interés es cero.

Supongamos $0 < \alpha < \beta \leq 1$ y consideremos la estrategia de venta en corto de una acción por $S_0^1$ en $t = 0$. En $t = 1$, podemos recomprar la acción por un precio $S_1^1$. Observamos que nuestra ganancia es no negativa con probabilidad uno y estrictamente positiva con probabilidad no negativa. Un argumento similar se puede usar para construir un arbitraje si $1 \leq \alpha < \beta$.

Esto demuestra que si no hay arbitraje, entonces $\alpha < 1 < \beta$. Técnicamente, demuestra la afirmación recíproca.