Encuentra los equilibrios de Nash puros en este juego estratégico de dos jugadores

Question

Los jugadores 1 y 2 están involucrados en un proyecto conjunto. Cada jugador i elige de forma independiente un esfuerzo $c_{i}$ que puede ser cualquier número en el intervalo de 0 a 1; es decir, $0 \leq c_{1} \leq 1$ y $0 \leq c_{2} \leq 1$.

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(a)

Supongamos que su producción dependerá de sus esfuerzos según la fórmula $y(c_{1}, c_{2}) = 3c_{1}c_{2}$, y cada jugador recibirá la mitad de la producción, pero cada jugador $i$ también debe pagar un costo de esfuerzo igual a $c_{i}^2$. Entonces $$u_{1} (c_{1}, c_{2}) = 1.5c_{1}c_{2} - c_{1}^2$$ $$u_{2} (c_{1}, c_{2}) = 1.5c_{1}c_{2} - c_{2}^2$$. Encuentra todos los equilibrios de Nash sin aleatorización.

Sé cómo resolver este problema: En un equilibrio de Nash, cada jugador está tomando la decisión que maximiza su utilidad esperada, dada la elección del otro jugador. Eso significa que para resolver este problema, los valores de $c_{1}, c_{2}$ serán:

$$\frac{\partial u_{1}}{\partial c_{1}} = 1.5c_{2} - 2c_{1} = 0$$ $$\frac{\partial u_{2}}{\partial c_{2}} = 1.5c_{1} - 2c_{2} = 0$$

Al resolver estas dos ecuaciones obtenemos: $c_{1} = c_{2} = 0$, que es de hecho la solución. Pero la siguiente pregunta, que es una modificación de este problema, es la que causa cierta confusión.

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(b) Ahora supongamos que su producción tiene un valor de $y(c_{1}, c_{2}) = 4c_{1}c_{2}$, de la cual cada jugador recibe la mitad, pero cada jugador $i$ también debe pagar un costo de esfuerzo igual a $c_{i}$. Entonces $$u_{1} (c_{1}, c_{2}) = 2c_{1}c_{2} - c_{1}$$ $$u_{2} (c_{1}, c_{2}) = 2c_{1}c_{2} - c_{2}$$ Encuentra todos los equilibrios de Nash sin aleatorización.

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Al abordar este problema de la misma manera,

$$\frac{\partial u_{1}}{\partial c_{1}} = 2c_{2} - 1 = 0$$ $$\frac{\partial u_{2}}{\partial c_{2}} = 2c_{1} - 1 = 0$$

Al resolver estas dos ecuaciones obtenemos: $$c_{1} = c_{2} = \frac{1}{2}$$

Pero aparentemente, hay dos conjuntos más de soluciones:

$$c_{1} = c_{2} = 0$$ $$c_{1} = c_{2} = 1$$

Mis preguntas son:

1. ¿Cómo estas soluciones satisfacen las condiciones para el equilibrio de Nash?
2. ¿Cómo se derivarían estas soluciones?
3. ¿Por qué estos conjuntos adicionales de soluciones pasan como equilibrios de Nash, mientras que en el problema anterior, solo hubo un conjunto de soluciones?

Answer 1

En tu título escribes equilibrios mixtos, pero el cuerpo de la pregunta específicamente pide equilibrios no aleatorios (puros). Hay una conexión con los equilibrios mixtos, que señalaré al final.

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Optimización restringida

Esto no es específico de la teoría de juegos, el problema subyacente está en la optimización restringida. Estás intentando resolver el problema $$ \max_x 2ax -x $$ sujeto a la condición $0 \leq x \leq 1$, donde $a$ es un parámetro.

Puedes ver desde la derivada de la función objetivo el efecto que aumentar $x$ tiene en su valor: $$ \frac{\text{d}(2ax -x)}{\text{d}x} = 2a - 1 $$ Cuando $a > 1/2$, esto es positivo, por lo que la función objetivo siempre es estrictamente creciente en $x$. Para maximizar el valor de la función objetivo querrás aumentar $x$ tanto como sea posible, que en este caso es el límite superior permitido por la condición, entonces 1.

Cuando $a < 1/2$, la función objetivo es estrictamente decreciente en $x$. Para maximizar el valor de la función objetivo querrás disminuir $x$ tanto como sea posible, que en este caso es el límite inferior permitido por la condición, entonces 0.

Cuando $a = 1/2$, $x$ no tiene efecto en el valor de la función objetivo, no importa a qué valor lo fijes. Este es el único valor de parámetro donde existe una llamada solución interior, donde $x$ puede ser óptimo dentro del intervalo especificado por la condición, donde $x \in (0,1)$.

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2. ¿Cómo se derivarían estas soluciones?

No se debe olvidar que dado que su problema especifica $0 \leq c_i \leq 1$, están haciendo optimización restringida, por lo que es posible que haya soluciones extremas (no interiores), y por lo tanto no se debe asumir que la diferenciación directa da todas las soluciones.

Puedes hacer un mapeo de mejor respuesta, calcular qué $c_1$ maximizaría la ganancia de 1 para cada valor posible de $c_2$, y viceversa. Donde encuentres pares coincidentes (por ejemplo, $c_1 = 1$ es una mejor respuesta a $c_2 = 1$, y $c_2 = 1$ es una mejor respuesta a $c_1 = 1$), tienes un equilibrio.

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Equilibrios mixtos

Tu profesor parece haber pensado en un buen ejercicio, porque esto encaja muy bien con las estrategias mixtas.

En la teoría de juegos, cuando un jugador mezcla entre varias estrategias, le es indiferente cómo asignar las probabilidades entre sus propias estrategias (mixtas), de lo contrario no las mezclarían, sino que pondrían toda la probabilidad en su estrategia que mejor funciona. Por lo tanto, mezclar solo es posible cuando, dadas las estrategias de los otros jugadores, un jugador tiene varias estrategias que tienen el mismo pago esperado. Entonces, cambiar la probabilidad de una a la otra no tiene efecto en el pago.

De hecho, si miramos el juego $$\begin{matrix} \begin{array}{c|c|c} &A &B \\ \hline A & 1, 1 & -1, 0 \\ \hline B & 0, -1 & 0, 0 \end{array} \end{matrix} $$ y denotamos la probabilidad con la que el jugador $i$ juega su estrategia $A$ como $c_i$, obtenemos los mismos pagos esperados que en tu ejercicio b): \begin{align} E(U_1(c_1,c_2)) & = c_1 \cdot c_2 \cdot 1 + c_1 \cdot (1 - c_2) \cdot (-1) + (1 - c_1) \cdot c_2 \cdot 0 + (1 - c_1) \cdot (1 - c_2) \cdot 0 \\ & = c_1 \cdot c_2 \cdot 2 - c_1. \end{align} En este juego, cuando el jugador 2 juega sus estrategias y mezcla con una probabilidad de $1/2-1/2$, el jugador 1 es indiferente entre sus propias estrategias puras, ambas producen un pago esperado de 0. No les importa cómo asignan las probabilidades, cuando $c_2=1/2$ $$ \frac{\text{d} (c_1 \cdot c_2 \cdot 2 - c_1)}{\text{d}c_1} = 0. $$ Sin embargo, el único equilibrio mixto es cuando el jugador 1 selecciona $c_1 = 1/2$. Esto se debe a que a menos que lo hagan, el jugador 2 no es indiferente entre sus dos estrategias, y no las mezclará. Así, este equilibrio mixto es 'frágil', balanceándose en la punta de una aguja; si un jugador se desvía un poco, por ejemplo, a $c_i = 49/100$, el otro se beneficiaría al cambiar a una estrategia pura.