Estoy leyendo el siguiente artículo de Angeletos y Lian y me quedé atascado en la ecuación (3). El problema es la elección estándar del paquete óptimo de consumo. Es decir, el consumo agregado del "agricultor" $i$ es
$$ c_i = \left(\int c_{ij}^{1-\eta} \mathrm{d}j\right)^{\frac{1}{1 - \eta}}, $$
y la restricción presupuestaria del agricultor es $\int p_j c_{ij}\mathrm{d}j = p_i q_i$, donde $q_i$ es la producción del agricultor $i$. La maximización de $c_i$ sujeta a un gasto agregado fijo produce el resultado estándar
$$ \int p_j c_{ij}\mathrm{d}j = Pc_i $$ y
$$ \frac{c_{ij}}{c_i} = \left(\frac{p_j}{P}\right)^{-\frac{1}{\eta}} $$ para todo $j$, donde $P = (\int p_j^{1 - 1/\eta}\mathrm{d}j)^{1/(1- 1/\eta)}$ es el índice de precios ideal. Ahora los autores imponen la condición de equilibrio de mercado $\int c_{ji} \mathrm{d}j = q_i$ para todo $i$ y concluyen a partir de esto que
$$ p_i = P\left(\frac{q_i}{Q}\right)^{-\eta} $$ para todo $i$, donde $Q = (\int q_j^{1 - \eta} \mathrm{d}j)^{1/(1-\eta)}$ se supone que es la producción agregada. No puedo derivar este resultado bajo las suposiciones anteriores.
Lo que intenté fue empezando desde
$$ c_{ji} = \left(\frac{p_i}{P}\right)^{-\frac{1}{\eta}}c_j $$
(nota que esta es sólo la demanda óptima con índices intercambiados). Integrando sobre $j$, y resolviendo para $p_i$, obtengo
$$ p_i = P\left(\frac{q_i}{\int c_j \mathrm{d}j}\right)^{-\eta}. $$ Esto es casi lo que quiero, pero necesitaría que $Q = \int c_j \mathrm{d}j$, lo cual, aunque tal vez intuitivo, parece no mantenerse (compara al sustituir las definiciones de $c_j$ y $q_j$). ¿Qué me estoy perdiendo? ¡Gracias de antemano!
