Teorema de Weierstrass en Optimización

Question

El Teorema de Weierstrass establece que cualquier secuencia acotada tiene una subsucesión convergente.

Hice eso en mi curso de matemáticas y lo entendí completamente. Pero cuando estaba aprendiendo técnicas de optimización en economía, la definición del libro Sundaram fue modificada ligeramente para adaptarse al entendimiento de la optimización. Va así - (ver Figura 1)

Si lo lees, está diciendo exactamente lo que el teorema original decía. La única diferencia es que, en lugar de comenzar con una secuencia acotada y llegar a la conclusión de que tendrá una subsucesión convergente, comenzó con una subsucesión convergente (asumiendo un conjunto compacto) y llegó a la conclusión de que debería estar acotada. ¿Tiene sentido verdad? También lo tuvo para mí hasta que encontré un resultado sobre conjunto compacto, declarado en el mismo libro. (Ver figura 2)

Esta redefinición del teorema lo convirtió en una definición circular - si un conjunto solo puede ser compacto si y solo si está acotado, entonces al asumir la Compacidad en la redefinición implícitamente asumimos la acotación.

Entonces, mi pregunta es por favor dime dónde me estoy equivocando. ¿Entendí incorrectamente la redefinición o me perdí algún punto?

Answer 1

Lo que el libro llama el "Teorema de Weierstrass" es más comúnmente conocido como el Teorema de los Valores Extremos, que establece que una función continua definida en un dominio compacto alcanza un máximo y un mínimo.

Una prueba común de este teorema involucra el uso del Teorema de Bolzano-Weierstrass, que aprendiste en tu curso de matemáticas, y que dice que toda secuencia acotada tiene una subsucesión convergente.

Entonces, los dos teoremas son en realidad afirmaciones diferentes, aunque relacionadas.