$H$ es una constante? Maximizing: $\int _0^Te^{-t}f(x,u)dt$ tal que $x_t=g(t,x,u)$ y $g$ es independiente de $t$

Question

$\max_{x(t),u(t)}\int _0^Te^{-t}f(x(t),u(t))dt$,

st derivada $x_t=g(t,x(t),u(t))$. Demostrar que $H$ es constante.

Mi intento2:

considerar el hamiltoniano $$ H(x(t), u(t)) = e^{-t}f(x(t), u(t)) + \lambda(t) g(x(t), u(t)). $$ Entonces: $$ \begin{align*} \frac{d}{dt} H(x(t), u(t)) &= (e^{-t}f_x + \lambda g_x)\dot x + \underbrace{(H_u)}_{=0} \dot u + g(x(t), u(t)) \dot \lambda,\\ &= \dot x(e^{-t}f_x + \lambda g_x) + g(x(t), u(t)) \underbrace{(-e^{-t}f_x - \lambda g_x)}_{=\dot \lambda_t},\\ &= \underbrace{(\dot x - g(x(t), u(t))}_{=0} (e^{-t}f_x + \lambda g_x),\\ &= 0 \end{align*} $$

Referencias: Chiang (1992), https://people.stfx.ca/tleo/advmacrolec3.pdf

Answer 1

Considera el problema: $$ \begin{align*} \max_{u} \int_0^T f(x(t), u(t)) dt& \\ \text{ s.t. } &\dot x = g(x(t), u(t)),\\ &\text{ + condiciones de frontera} \end{align*} $$

Supongamos que $g(x,u)$ y $f(x,u)$ son independientes de $t$ (dado $x$ y $u$). El Hamiltoniano está dado por: $$ H(x(t), u(t)) = f(x(t), u(t)) + \lambda(t) g(x(t), u(t)) $$ Las condiciones de primer orden son: $$ \begin{align*} &f_u + \lambda g_u = 0,\\ &\dot \lambda = - f_x - \lambda g_x\\ &\text{y algunas condiciones de transitividad} \end{align*} $$ Ahora considera el Hamiltoniano $$ H(x(t), u(t)) = f(x(t), u(t) + \lambda(t) g(x(t), u(t)). $$ Entonces: $$ \begin{align*} \frac{d}{dt} H(x(t), u(t)) &= (f_x + \lambda g_x)\dot x + \underbrace{(f_u + \lambda g_u)}_{=0} \dot u + g(x(t), u(t)) \dot \lambda,\\ &= \dot x(f_x + \lambda g_x) + g(x(t), u(t)) \underbrace{(-f_x - \lambda g_x)}_{=\dot \lambda_t},\\ &= \underbrace{(\dot x - g(x(t), u(t))}_{=0} (f_x + \lambda g_x),\\ &= 0 \end{align*} $$ Esto muestra que $H$ no cambia con $t$, por lo que permanece constante en el tiempo. El valor exacto generalmente es determinado por las condiciones de transitividad.