Compruebe que una preferencia se conserva bajo límites si y solo si su contorno superior e inferior está cerrado

Question

Me preocupa la dirección inversa, que el contorno superior e inferior esté cerrado implica que la preferencia es continua, es decir, para cualquier secuencia $x_n$ y $y_n$, $x_n\succcurlyeq y_n$ para todo $n$, entonces si $x_n\to x$ y $y_n\to y$, tenemos $x\succcurlyeq y$.

He leído algunas de las demostraciones, pero parece que todas han utilizado que la preferencia es transitiva. Incluso el manual de soluciones de MWG incluye la Proposición 1.B.1, que es la proposición sobre racionalidad. ¿Pero no es que no tenemos racionalidad aquí?

Answer 1

Sin hacer más suposiciones, esto no necesita ser cierto. Aquí hay un ejemplo económicamente insensato pero matemáticamente válido: Considera la siguiente relación en la recta real: $x\succeq y$ se cumple si y solo si $x=y$ y $x$ es un número racional. El gráfico de esta relación es $G=\{(q,q)\mid q\in\mathbb{Q}\}$, un conjunto que claramente no está cerrado. Por lo tanto, existen secuencias $\langle (x_m,y_n)$ que convergen a $(x,y)$ satisfaciendo $x_n\succeq y_n$ para todo $n$ pero $x\succeq y$ no se cumple. Sin embargo, todos los conjuntos de contorno superiores e inferiores están vacíos o contienen un solo punto y, por lo tanto, están cerrados.