Sea $X$ el conjunto cerrado, compacto y convexo de alternativas y $B$ un subconjunto cerrado, compacto y convexo de $X$. $C$ está definida en todos los conjuntos cerrados, compactos y convexos $B\subseteq X$.
$X$ está ordenado por una preferencia estrictamente convexa (no necesariamente continua).
$C$ es una función de elección bien definida que elige el elemento maximal de $B$. Función $C:2^B\to B$. Se sigue que $C(B)$ es único para cada $B$
Se define $xPy$ si $x=C(B)$ y $y\in B$. Si $xPy$ y $yPz$ , decimos $xP'z$.
$P$ es la relación de preferencia revelada directa. $P'$ es la indirecta?
¿Podemos decir que $P'$ es completo, en el sentido de que si $x\succ y$ entonces $xP'y$? Esto significa que cualquier par de $x,y$ puede ser clasificado por la preferencia revelada indirecta.
Para demostrar que $xP'y$, necesitamos encontrar una secuencia finita $z_1,z_2...z_n$ tal que $xPz_1P...Pz_nPy$.
Si dibujas dos curvas de indiferencia, y eliges un punto de cada una, puedes ver que usualmente no es el caso que $xPy$, pero normalmente puedes dibujar una nueva IC entre ellas, encontrar un $z$, para que $xPzPy$.
Nota que en la teoría clásica de RP, el conjunto de datos suele ser finito, y por lo tanto $P'$ no puede ser completo. Aquí $C$ es una función por lo que la completitud podría ser posible.
Axioma fuerte de preferencia revelada: $xP' z$ y $x\neq z$ implica que $z\not P' x$. SARP implica la existencia de $u$ tal que $x=\arg\max_{x\in B}u(x)$. Me parece que SARP no es suficiente ya que es posible que $x\sim y$ y luego $x\not P'y$ y $y\not P'x$.
