Índice de precios CES en Melitz (2003)

Question

Estoy leyendo Melitz (2003), y no entiendo por qué el índice de precios CES se puede reescribir como una integral que incluye $M$ y $\mu(\phi)$. Encuentro las notas de la conferencia de Dave Donaldson (https://dave-donaldson.com/wp-content/uploads/Lecture-3-Firm-heterogeneity-theory-I.pdf, en la diapositiva 7), y dice que:

Por definición, el índice de precios CES se da por

\begin{align*} P=\left[\int_{\omega\in \Omega} p(\omega)^{1-\sigma}d\omega\right]^{1/(1-\sigma)} \end{align*}

donde $\Omega$ es la masa de bienes disponibles

Dado que todas las empresas con productividad $\phi$ cobran el mismo precio $p(\phi)$, podemos reorganizar el índice de precios CES como:

$$P=\left[\int_{0}^{+\infty} p(\phi)^{1-\sigma}M\mu(\phi)d\phi\right]^{1/(1-\sigma)}$$ donde $M$ es la masa de empresas en equilibrio y $\mu(\phi)$ es la función de densidad de niveles de productividad de empresa en equilibrio.

No logro entender las matemáticas detrás de esta transformación, como por qué hay $M$ y $\mu(\phi)$ en la nueva integral. ¿Alguien podría explicarme esto? ¡Gracias!

Answer 1

Intuitivamente es bastante comprensible, ¿verdad?

Aunque, si solo pensamos en el Cálculo, creo que debería seguirse así:

Considere una densidad conjunta $\Lambda(\omega, \phi)$ con $\omega \in \Omega$ y $\phi \in [0, \infty)$ ; y sea $f(\omega) = \int_0^{\infty} \Lambda(\omega, \phi) d\phi$ una densidad marginal de $\omega$ . Entonces podríamos tener \begin{align} \int_{\omega\in\Omega} p(\omega)^{1-\sigma} d\omega & = \int_{\omega\in\Omega} p(\omega)^{1-\sigma} \dfrac{1}{f(\omega)} f(\omega) d\omega \\[7pt] & = \int_{\omega\in\Omega} p(\omega)^{1-\sigma} \dfrac{1}{f(\omega)} \int_0^{\infty} \Lambda(\omega, \phi) d\phi d\omega \\[7pt] & = \int_0^{\infty} \int_{\omega\in\Omega} p(\omega)^{1-\sigma} \dfrac{1}{f(\omega)} \Lambda(\omega, \phi) d\omega d\phi \\[7pt] & = \int_0^{\infty} p(\phi)^{1-\sigma} M \int_{\omega\in\Omega} \Lambda(\omega, \phi) d\omega d\phi \\[7pt] & = \int_0^{\infty} p(\phi)^{1-\sigma} M \mu(\phi) d\phi. \end{align} No hay nada especial, solo sustituciones y el Fubini's. Sin embargo, la cuarta igualdad está utilizando $f(\omega) = 1/M$ en el equilibrio (estacionario). ( $\because$ Como $M$ es la masa de empresas, tenemos una medida de bienes de magnitud $M$ ) Y de $p(\omega)$ a $p(\phi)$ es inocuo.