Transformación monótona positiva y preferencias idénticas.

Question

Dos consumidores, A y B, tienen las siguientes funciones de utilidad $$ u^{A}(x_1,x_2)=x_1(x_2)^\alpha$$ $$u^{B}(x_1,x_2)=\frac{1}{3}\ln(x_1)+\frac{2}{3}\ln(x_2) $$ Tengo que encontrar $\alpha$ de modo que las funciones de utilidad representen preferencias idénticas. Al transformar la función de utilidad de $u^{A}$ con $f(x)=\frac{1}{3}\ln(x)$ obtengo que $$(f u^{A})(x_1,x_2)=\frac{1}{3}\ln(x_1)+ \frac{\alpha}{3}\ln(x_2)$$ Lo que significa que cuando $\alpha =2$, las preferencias son idénticas. Sin embargo, al igualar las ecuaciones $$\frac{1}{3}\ln(x_1)+\frac{2}{3}\ln(x_2)=x_1(x_2)^\alpha$$ $$ \ln(x_1^{1/3}+\ln(x_2^{2/3})= x_1(x_2)^\alpha$$ $$ \ln(x_1^{1/3} \cdot x_2^{2/3})= x_1(x_2)^\alpha$$ $$ \ln(x_1^{1/3} \cdot x_2^{2/3})= \ln(x_1)+\alpha \cdot \ln(x_2)$$ Para que los logaritmos sean iguales, igualo sus argumentos: $$x_1^{1/3} \cdot x_2^{2/3} = x_1 \cdot x_2^{\alpha} $$ $$x_1^{1/3} \cdot x_2^{2/3} = x_1^{1/3} \cdot x_2^{\alpha} $$ Ahora las bases son iguales, y para que los exponentes también sean iguales, $\alpha$ debe ser igual a 2/3.

Entonces, ¿cuál de los dos métodos es el correcto?

Answer 1

Sin embargo, cuando establezco las ecuaciones como iguales

Estas no son ecuaciones, son funciones. Puedes validar rápidamente que las dos funciones no son la misma función, no son 'iguales', revisando sus valores en $(1,1)$.

También escribes

$$ \ln(x_1^{1/3} \cdot x_2^{2/3})= x_1(x_2)^\alpha$$ $$ \ln(x_1^{1/3} \cdot x_2^{2/3})= \ln(x_1)+\alpha \cdot \ln(x_2)$$

pero estas dos ecuaciones no son consistentes; solo tomaste el logaritmo del lado derecho de la primera ecuación.

También escribes

$$x_1^{1/3} \cdot x_2^{2/3} = x_1 \cdot x_2^{\alpha} $$ $$x_1^{1/3} \cdot x_2^{2/3} = x_1^{1/3} \cdot x_2^{\alpha} $$

pero nuevamente, estas dos ecuaciones tienen poco que ver entre sí, no se derivan una de la otra.

Recomiendo seguir los métodos que has discutido en clase o ir a las horas de atención de tu profesor para analizar los detalles de las operaciones matemáticas dependiendo de si quieres aprobar o tener una mejor comprensión.

Answer 2

Necesitas encontrar un exponente tal que las dos funciones de utilidad representen las mismas preferencias, no que sean iguales.

Estas dos funciones claramente no son las mismas.

Recuerda, sin embargo, que las funciones de utilidad representan relaciones de preferencia únicas solo hasta transformaciones monótonas crecientes, lo que significa que para cualquier función de utilidad:

$$U(\tilde{x})$$

También podemos representar las preferencias con cualquier función:

$$\overline{U}(\tilde{x}) = g(U(\tilde{x}))$$

Donde $g(.)$ es creciente.

Por lo tanto, necesitas encontrar una transformación monótona de la primera función de utilidad que produzca una función de utilidad de la forma de la segunda función de utilidad. Es correcto que la transformación para esto es tomar logaritmos, y no se aplica a ambas funciones (solo se aplica $g()$ a la primera función).

$$log(u^A) = log(x_1 x_2^\alpha) = log(x_1) + \alpha log(x_2)$$

Esto claramente no es de la forma $u^B$, pero está cerca. Luego necesitas hacer una transformación adicional, dividiendo por $(1+\alpha)$, que también es una transformación monótona siempre que $\alpha > -1$:

$$\dfrac{log(u^A)}{1 + \alpha} = \frac{1}{1+\alpha}log(x_1) + \frac{\alpha}{1+\alpha} log(x_2)$$.

Finalmente, puedes establecer $\frac{1}{1 + \alpha} = \frac{1}{3} \implies \alpha = 2$.

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Por lo tanto, tu primera solución es correcta. La razón por la que tu método posterior no funciona es porque las funciones de utilidad no son iguales, simplemente representan las mismas preferencias.